2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 2 函数的基本概念

2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 2 函数的基本概念

二、函数的基本概念 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知函数f（x）=，则f（x）的值域是（　　）‎ A．[1，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[0，1）∪（1，+∞）‎ ‎2．若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．为了得到函数的图象，只需把函数y=log2x的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 ‎4．已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=‎2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．若f（a）=f（2020），则满足条件的最小的正实数a的值为（　　）‎ A．28 B．‎34 ‎C．36 D．100‎ ‎5．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．6 D．12‎ ‎6．设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（　　）‎ A． B．‎ 9‎ C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0 D．‎ ‎7．已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：‎ ‎①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）； ②f（x）的值域是；‎ ‎③f（x）是奇函数； ④f（x）是区间（0，2）上的增函数．‎ 其中推断正确的个数是（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎8．若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣） C．[﹣，+∞） D．[﹣，﹣）‎ ‎9．函数f（x）=的值域是（　　）‎ A．[﹣，] B．[﹣，0] C．[0，] D．[0，1]‎ ‎10．若函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的值域为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（3，+∞） B．（0，] C．（1，3） D．[，1）‎ ‎11．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（　　）‎ A．[﹣，1] B．[0，1] C．[0，] D．[﹣，1]‎ ‎12．定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1）单调递增），函数（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值（　　）‎ A． B．﹣‎3 ‎C．1 D．3‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．函数的定义域是　 　（用区间表示）．‎ 9‎ ‎14．已知函数对定义域内的任意x的值都有﹣1≤f（x）≤4，则a的取值范围为　 　．‎ ‎15．已知函数f（x）=2x+1与函数y=g（x）的图象关于直线x=2成轴对称图形，则函数y=g（x）的解析式为　 　．‎ ‎16．若函数（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为集合A，B，且集合{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，则b+c的最大值为　 　．‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎17．已知函数f（x）=x2﹣4ax+‎2a+6（a∈R）．‎ ‎（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；‎ ‎（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2﹣a|a+3|的值域．‎ ‎18．已知函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）用定义证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数；‎ ‎（3）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．‎ ‎　‎ 9‎ 答案：‎ 二、函数的概念 选择题（共12小题）‎ ‎1．【解答】解：由f（x）=，知 当x≤1时，x2≥0；当x＞1时，x+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1，当且仅当x=，即x=2时取“=”，取并集得：f（x）的值域是[0，+∞）．故选：B．　‎ ‎2．【解答】解：因为从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f（﹣x），再整体向右平移1个单位即可得到．‎ 即图象变换规律是：①→②．‎ 故选：A．‎ ‎3．【解答】解：∵函数=log2（x+1）﹣log24=log2（x+1）﹣2，‎ 故其图象可由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个长度单位得到，故选C．　‎ ‎4．【解答】解：取x∈（‎2m，‎2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，从而f（x）=‎2f（）=…=2mf（）=‎2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…，‎ f（2020）=‎210f（）=211﹣2020=28=f（a），‎ 设a∈（‎2m，‎2m+1）则f（a）=‎2m+1﹣a=28，∴a=‎2m+1﹣28∈（‎2m，‎2m+1），‎ 即m≥5，a≥36，∴满足条件的最小的正实数a是36．故选：C．‎ ‎5．【解答】解：由题意知当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．故选C．‎ 9‎ ‎6．【解答】解：对于A，f（x）=x2（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B，f（x）==1（x＞0），与g（x）==1（x＞0）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；‎ 对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=（x﹣1）0=1（x≠1）的定义域不同，所以不是同一函数；对于D，f（x）==x﹣3（x≠﹣3），与g（x）=x﹣3（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数．故选：B．‎ ‎7．【解答】解：①∵函数，∴f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），故①正确； ②f（x）=，x＞0时：f（x）≤，‎ x＜0时：f（x）≥﹣，故f（x）的值域是，故②正确；‎ ‎③f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，故③正确；‎ ‎④由f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，∴f（x）在区间（0，2）上先增后减，‎ 故④错误；故选：C．‎ ‎8．【解答】解：由f（x）=作出函数图象如图，‎ 由图象可知，0＜a＜1且，即．‎ 又f（2）=，‎ ‎∴f（2）∈[﹣，﹣）．故选：D．　‎ 9‎ ‎9．【解答】解：由得，则﹣1≤x≤1，即函数的定义域为[﹣1，1]，设x=sinα，则函数f（x）等价为y==，‎ 设P（sinα，|cosα|），则点P在单位圆x2+y2=1的上半部分，‎ 则的几何意义是圆上点到点A（2，1）的斜率，‎ 由图象知AB的斜率最小，此时k=0，‎ AC的斜率最大，此时k==1，故0≤k≤1，‎ 故函数f（x）的值域是[0，1]，故选：D ‎10．【解答】解：①若a＞3，x＜0时，0＜f（x）＜1，x≥0时，f（x）≥‎4a，此时不满足f（x）的值域为（﹣∞，+∞）；‎ ‎②若a=3，显然不成立；③若1＜a＜3，x＜0时，0＜f（x）＜1，x≥0时，f（x）≤‎4a，不满足值域（﹣∞，+∞）；‎ ‎④若0＜a＜1，x＜0时，f（x）＞1，x≥0时，f（x）≤‎4a；‎ 要使f（x）的值域为（﹣∞，+∞），则：‎4a≥1；‎ ‎∴；∴实数a的取值范围是．故选D　‎ ‎11．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab ‎≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=，‎ 当c=，a=0，b=时，f（c）=，∴f（c）的最小值为﹣；‎ 又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab ‎==‎ 9‎ ‎=，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．‎ ‎∴f（c）的取值范围为[]．故选：A．‎ ‎12．【解答】解：由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，‎ ‎∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．‎ ‎∵f（x）=在[m，n]上是增函数，‎ ‎∴由条件得，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，‎ 即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．‎ ‎∴mn=，m+n==，‎ 则△=（a2+a）2﹣‎4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．‎ ‎∴n﹣m===‎ ‎=，‎ ‎∴n﹣m的最大值为，此时，解得a=3，‎ 即在区间[m，n]的最大长度为时，a的值是3．‎ 故选D．．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：x＞1，且x≠3．‎ ‎∴函数的定义域是（1，3）∪（3，+∞）．‎ 故答案为：（1，3）∪（3，+∞）．　‎ ‎14．【解答】解：根据题意得：‎ 恒成立，所以恒成立 所以解得﹣4≤a≤4故答案为[﹣4，4]．‎ ‎15．【解答】解：设g（x）的图象上的任一点P（x，y），且P关于直线x=2的对称点P′‎ 9‎ ‎（x′，y′），则，解得 ，‎ ‎∵点P′在函数y=2x 的图象上，∴y=2（4﹣x）+1=﹣2x+9，‎ 即C′所对应的函数解析式为y=﹣2x+9，故答案为：y=﹣2x+9‎ ‎16．【解答】解：由题可知，a＜0，b2﹣‎4ac＞0，则，，‎ 因为{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，所以，‎ 可得a=﹣4，b2+‎16c=16，，所以，当b=8时有最大值5．故答案为5．‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎17【解答】解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），‎ 即二次函数f（x）=x2﹣4ax+‎2a+6图象不在x轴下方，‎ ‎∴△=0，即‎16a2﹣4（‎2a+6）=0，∴‎2a2﹣a﹣3=0，‎ 解得a=﹣1或a=；（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，‎ ‎∴△≤0，即﹣1≤a≤；∴a+3＞0；‎ ‎∵f（a）=2﹣a|a+3|=﹣a2﹣‎3a+2=﹣2+，其中 ；‎ ‎∴二次函数f（a）在上单调递减．‎ ‎∴f≤f（a）≤f（﹣1），即﹣≤f（a）≤4，∴f（a）的值域为．　‎ ‎18．【解答】解：（1）函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，‎ ‎∴f（0）=0，∴b=0；…（3分）又f（1）=，∴a=1；…（5分）‎ ‎∴…（5分）‎ ‎（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则x2﹣x1＞0，‎ 于是f（x2）﹣f（x1）=﹣=，‎ 9‎ 又因为﹣1＜x1＜x2＜1，则1﹣x1x2＞0，，，‎ ‎∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），‎ ‎∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；‎ ‎（3）f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1）； …（6分）‎ 又由已知函数f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t）…（8分）‎ ‎∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t）…（3分）‎ 由（2）可知：f（x）是（﹣1，1）上的增函数，…（10分）‎ ‎∴2t﹣1＜1﹣t，t＜，又由﹣1＜2t﹣1＜1和﹣1＜1﹣t＜1得0＜t＜‎ 综上得：0＜t＜…（13分）‎ 9‎