【数学】2019届一轮复习人教A版（文）3-2-1第三章导数及应用学案
3.2 导数的应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).
考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
知识拓展
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( × )
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ )
题组二 教材改编
2．[P98A组T4]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极小值
答案 C
解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，
∴f(x)是增函数．
3．[P94例4]设函数f(x)＝＋lnx，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
答案 D
解析 f′(x)＝－＋＝(x>0)，
当0
2时，f′(x)>0，
∴x＝2为f(x)的极小值点．
4．[P91例2]函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为______________．
答案 (0,4)
解析 f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由f′(x)<0，得00，得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，得－21.
∴不等式的解集为(1，＋∞)．
8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
∴方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
第1课时 导数与函数的单调性
题型一 不含参数的函数的单调性
1．函数y＝4x2＋的单调增区间为( )
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
答案 B
解析 由y＝4x2＋，得y′＝8x－，
令y′>0，即8x－>0，解得x>，
∴函数y＝4x2＋的单调增区间为.故选B.
2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)( )
A．在(0，＋∞)上单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在上单调递增
D．在上单调递减
答案 D
解析 因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，
当f′(x)>0时，解得x>，
即函数的单调递增区间为；
当f′(x)<0时，解得00，
则其在区间(－π，π)上的解集为∪，
即f(x)的单调递增区间为和.
思维升华确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
题型二 含参数的函数的单调性
典例讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当00，故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
综上所述，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当00)．试讨论f(x)的单调性．
解 由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当01时，f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.
题型三 函数单调性的应用问题
命题点1 比较大小或解不等式
典例 (1)(2017·南昌模拟)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sinxf B．f>f(1)
C.fg，
即>，
∴f>f.
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是__________________．
答案 (－∞，－2)∪(0,2)
解析 ∵当x>0时，′<0，
∴φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，
∴在(0，＋∞)上，当且仅当00，
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．
命题点2 根据函数单调性求参数
典例 (2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解 (1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1.
又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
由(1)知G(x)＝－，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，又因为a≠0，
所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．
引申探究
1．本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．
解 因为h(x)在[1,4]上单调递增，
所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，
所以当x∈[1,4]时，a≤－恒成立，
又当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，
所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．
2．本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．
解 h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
则h′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，a>－有解，
又当x∈[1,4]时，min＝－1，
所以a>－1，又因为a≠0，
所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
思维升华根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．
跟踪训练已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．
解 (1)因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号．
所以f(x)＝x3－1在R上是增函数．
所以实数a的取值范围是(－∞，0]．
(2)f′(x)＝3x2－a.
当a≤0时，f′(x)≥0，
f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
所以a≤0不合题意．
当a>0时，令3x2－a<0，得－0，得01.[4分]
当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝，[6分]
若<1，即a>，
由g′(x)>0，得x>1或01，即00，得x>或0时，函数g(x)在上单调递增，
在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[12分]
1．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是( )
A．(－∞，e) B．(1，e)
C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)
答案 D
解析 由f(x)＝x·ex－ex＋1，
得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，
令f′(x)>0，解得x>e－1，
所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．
2．(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
答案 C
解析 由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，
因为af(b)>f(a)，故选C.
3．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调增区间是( )
A.
B.
C.，(0，＋∞)
D.∪(0，＋∞)
答案 C
解析 ∵f′(x)＝3x2－2mx，∴f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，∴由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，即f(x)的单调增区间是，(0，＋∞)，故选C.
4．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，
故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
5．(2018届珠海二中月考)若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a>1
C．a≤1 D．0f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
答案 A
解析 f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，所以f(a)>f(b)．
7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.
答案 －12
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题意知，－11}
解析 设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，
∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，
即函数F(x)在R上单调递减．
∵f(x2)<＋，∴f(x2)－1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．
9．已知函数f(x)＝－x3＋mx2－x＋2在区间(1,2)上是增函数，则m的取值范围是__________．
答案
解析 f′(x)＝－x2＋2mx－1，
由题意知f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，
∴m≥在(1,2)上恒成立，
又当x∈(1,2)时，的取值范围是.
故m≥.
10．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________．
答案 (－∞，－1)∪(0,1)
解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，
所以f(1)＝－f(－1)＝0.
当x≠0时，令g(x)＝，
则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.
则当x＞0时，g′(x)＝′
＝＜0，
故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．
所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，由g(x)＞g(1)＝0，
得＞0，所以f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，由g(x)＜g(－1)＝0，得＜0，所以f(x)＞0.
综上知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
11．(2018·大理质检)已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)f′(x)＝(x>0)．
又由题知f′(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)f′(x)＝(x>0)．
设h(x)＝－lnx－1(x＞0)，
则h′(x)＝－－＜0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，
单调递减区间是(1，＋∞)．
12．(2017·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.试讨论f(x)的单调性．
解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
(1)若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
(2)若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝－lna.
当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)<0；
当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．
13．(2017·承德调研)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)e2017f(0)
B．f(1)>ef(0)，f(2017)>e2017f(0)
C．f(1)>ef(0)，f(2017)0，解得a>－，
所以a的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
答案 (0,1)∪(2,3)
解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－
＝－，
由f′(x)＝0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，
则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，
由t<10时，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，
当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，
单调减区间为(0，a)；
③当a<0时，当x∈(－∞，a)时，f′(x)>0，
当x∈(a,0)时，f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，a)，(0，＋∞)，
单调减区间为(a,0)．
综上可知，当a＝0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，
单调减区间为(0，a)；
当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，a)，(0，＋∞)，
单调减区间为(a,0)．
(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，∃x0∈(－2，－1)，
使不等式g′(x0)＝x－ax0＋2<0成立，
即当x∈(－2，－1)时，a
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