数学文卷·2017届山西省平遥县高三下学期4月质量检测（2017

数学文卷·2017届山西省平遥县高三下学期4月质量检测（2017

平遥2017年4月高三质检 数 学 试 题（文科）‎ 本试卷满分 150分 考试时间 120分钟 命题人 张丽君 郭鑫 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分.‎ ‎1. 已知全集为，集合，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数（其中是虚数单位），那么的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D. ‎ ‎3. 已知张卡片上分别写着数字，甲、乙两人等可能地从这张卡片中选择张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 已知双曲线的右焦点为，点到某条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎6. 函数的图像大致是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎7. 已知，且，，若，则（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，若的图象都经过点，则的值不可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 如图所示，程序框图的输出值（ ）‎ A． B. ‎ ‎ C． D．‎ ‎10. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为(　　)‎ A． B． ‎ C． D. ‎ ‎11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数在内有两个极值点，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ 二. 填空题 ：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 已知向量，，满足，，且，则与的夹角为 ‎ ‎14. 若变量,满足，则的最大值是 ‎ ‎15. 数列的前项和为，且，，成等差数列，则 ‎ ‎16. 在三棱锥中，，，,,则此三棱锥的外接球的表面积为 . ‎ 三. 解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知在中，角,,所对的边为,,，且满足.‎ ‎(I)求角；‎ ‎(II)若，的面积为，求.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，平面， ‎ ‎，,，为的中点．‎ ‎(I) 求证：平面；‎ ‎(II) 求点到平面的距离.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某企业寻找甲、乙两家代工厂为其生产某种产品，并通过检测该产品的某项指标值来衡量产品是否合格.现从甲、乙生产的大量产品中各随机抽取件产品作为样本，测量出它们的该项指标值，若指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.表是甲厂样本的频数分布表，图是乙厂样本的频率分布直方图.‎ ‎ ‎ 质量指标值 频数 表1：甲厂样本的频数分布表 图1：乙厂样本的频率分布直方图 ‎(I) 求频数分布表中的值，并将频率分布直方图补充完整；‎ ‎(II) 若将频率视为概率，某个月内，甲、乙两厂均生产了件产品，则甲、乙两厂分别生产出不合格品约多少件？‎ ‎(III)根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两厂的选择有关”？‎ 附： (其中为样本容量)‎ 甲厂 乙厂 合计 ‎ 合格品 不合格品 合计 ‎ ‎ ‎ 20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的右焦点，并且经过点 ‎(I) 求椭圆的方程；‎ ‎(II) 过作互相垂直的两条直线, ，分别与交于点,与点,，求四边形面积的最小值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数（），其导函数为．‎ ‎（I）求函数的极值；‎ ‎（II）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎22. （本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是（为参数）中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（I）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设直线与曲线相交于,两点，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知函数 ‎ ‎（I）若，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若，，求证：.‎ 平遥县2017年4月高三质检 数学（文科）参考答案与评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C A A B D C D A B C ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.（I）由有，而,‎ ‎ 代入化简得,，所以， ……………6分 ‎（II）由 ,,得 ………9分 而，代入解得 ………12分 ‎18. （I）平面， ………1分 在中，，，，‎ 在中，，，，则,‎ ‎ ………4分 又，所以平面 ………6分 ‎（II）过作交于，则平面,由（I）易得，，‎ ‎，由,,平面得 ‎，所以 ………9分 由（I）知平面，，又，，‎ 所以，设点到平面的距离为，则由，得 ………12分 ‎19. （I），的高度与的高度相同 ………2分 ‎（II）由甲厂频数分布表知，不合格品有件，则甲厂不合格品概率为，所以甲厂生产的件产品中，不合格品大约为件； ………4分 由乙厂频率分布直方图知，不合格品的频率为件，则乙厂不合格品概率为，所以乙厂生产的件产品中，不合格品大约为件 …7分 ‎（III） ‎ 甲厂 乙厂 合计 ‎ 合格品 ‎40‎ ‎35‎ ‎75‎ 不合格品 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以没有的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两厂的选择有关”. ………12分 ‎20. （I）由题意有 解得，则椭圆的方程为 ……5分 ‎（II）当直线斜率不存在或为零时， ……6分 当直线斜率存在时，不妨设为，则直线斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得，由于在椭圆内，故此方程的，‎ 设，，则有，，从而有 ‎ 将替换为，得 ………9分 ‎，令，‎ 四边形面积的最小值. ………12分 ‎21. （I）由得， ，则 ‎，所以，当时，；‎ 当时，，当时，有极大值，无极小值 ………5分 ‎（II），（i）当时， 在时恒成立，所以在上恒成立，与已知矛盾，故不成立 ………7分 ‎（ii）当时，令，则，又，‎ 若，即时， ，有在上单调递减，‎ ‎，即在上恒成立，从而有，满足 ………9分 若，即时，，而，则有时，，单调递增；时，，单调递减.‎ 又，所以在上恒成立，即在上恒成立，‎ 从而有在上单调递增，在上恒成立，故不成立.综上所述，实数的取值范围是. ………12分 ‎22. （I）直线的普通方程: ‎ 曲线的直角坐标方程: ………5分 ‎（II）将代入得，设,两点的参数分别为,，则，，从而有……10分 ‎23. （I）由题意有，‎ 当时，，解得，所以 当时，，解得，所以 当时，，解得，所以 综上，实数的取值范围是 ………5分 ‎（II）当，时，由绝对值三角不等式有 ‎ ‎ ‎ ………10分