2020届二轮复习(文)三角恒等变换与解三角形作业

2020届二轮复习(文)三角恒等变换与解三角形作业

专题限时集训(二)　三角恒等变换与解三角形 ‎[专题通关练]‎ ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2019·成都检测)若sin＝，则cos＝(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C．－　　　　D．－ D　[∵sin＝，∴cos＝，‎ ‎∴cos＝cos 2＝2cos2－1＝－，故选D.]‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若＝，则cos B＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. B　[在△ABC中，由正弦定理，得＝＝1，‎ ‎∴tan B＝，又B∈(0，π)，∴B＝，cos B＝，故选B.]‎ ‎3．(2019·开封模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B．‎1 C. D．2‎ C　[∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝＝.∵A为△ABC的内角，∴A＝60°，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝×4×＝.故选C.]‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC 为(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 A　[根据正弦定理得＝＜cos A，即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)＜sin Bcos A，整理得sin Acos B＜0，又三角形中sin A＞0，∴cos B＜0，＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形．]‎ ‎5．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(　　)‎ A. km2 B. km2‎ C. km2 D. km2‎ D　[如图，连接AC，根据余弦定理可得AC＝，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小区的面积为×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．]‎ ‎6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC＝60°，则AB＝________.‎ ‎3　[在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB＞0，所以AB＝3.]‎ ‎7．(2019·荆州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin‎2A－sin2B＝sin Bsin C，sin C＝2sin B，则A＝________.‎ ‎30°　[根据正弦定理可得a2－b2＝bc，c＝2b，解得a＝b.‎ 根据余弦定理cos A＝＝＝，得A＝30°.]‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝4，c＝5，且 B＝‎2C，点D为边BC上一点，且CD＝3，则△ADC的面积为________．‎ ‎6　[在△ABC中，由正弦定理得＝，又B＝‎2C，则＝，又sin C＞0，则cos C＝＝，又C为三角形的内角，则sin C＝＝＝，则△ADC的面积为AC·CDsin C＝×4×3×＝6.]‎ ‎[能力提升练]‎ ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎9．如图，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cos A＝(　　)‎ A.　　　 B. C. D. C　[∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故选C.]‎ ‎10．在外接圆半径为的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(‎2c＋b)sin C，则b＋c的最大值是(　　)‎ A．1 B. C．3 D. A　[根据正弦定理得‎2a2＝(2b＋c)b＋(‎2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝－，A＝120°.因为△ABC外接圆半径为，所以由正弦定理得b＋c＝sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)，故当B＝30°时，b＋c取得最大值1.]‎ ‎11．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.‎ ‎(1)若a＝b，求cos B；‎ ‎(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．‎ ‎[解]　(1)由题设及正弦定理可得b2＝‎2ac.‎ 又a＝b，可得b＝‎2c，a＝‎2c.‎ 由余弦定理可得cos B＝＝.‎ ‎(2)由(1)知b2＝‎2ac.‎ 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.‎ 故a2＋c2＝‎2ac，得c＝a＝.‎ 所以△ABC的面积为1.‎ ‎12．(2019·兰州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若△ABC的面积S△ABC＝，且a＝5，求sin B＋sin C.‎ ‎[解]　(1)∵b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A，‎ ‎∴2bccos A＝accos C＋c2cos A，‎ ‎∵c＞0，∴2bcos A＝acos C＋ccos A，‎ 由正弦定理得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，‎ 即2sin Bcos A＝sin(A＋C)．‎ ‎∵sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，‎ ‎∴2sin Bcos A＝sin B，即sin B(2cos A－1)＝0，‎ ‎∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴cos A＝，‎ ‎∵0＜A＜π，∴A＝.‎ ‎(2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝，∴bc＝25.‎ ‎∵cos A＝＝＝，∴b2＋c2＝50，‎ ‎∴(b＋c)2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10(或求出b＝c＝5)，‎ ‎∴sin B＋sin C＝b·＋c·＝(b＋c)·＝10×＝.‎ 题号 内容 押题依据 ‎1‎ 诱导公式、倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式 利用正弦定理、余弦定理求解三角形的面积，在近几年全国卷中常有涉及，应予以重视．本题将三角恒等变换与余弦定理相结合，考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养 ‎2‎ 正弦定理、余弦定理 利用正弦定理、余弦定理解决三角形有关角、边长等的运算是每年高考的重点，本题将正、余弦定理与平面几何的相关知识综合考查，很好地考查了学生的数学运算和逻辑推理核心素养 ‎【押题1】　[新题型]△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sin ‎2C＋cos(A＋B)＝0且c＝，a＞c，a＋b＝5.则∠C＝________，△ABC的面积是________．‎ 　　[由sin ‎2C＋cos(A＋B)＝0且A＋B＋C＝π，‎ 得2sin Ccos C－cos C＝0，所以cos C＝0或sin C＝.‎ 由c＝，a＞c得，cos C＝0不成立，所以sin C＝，所以C＝.‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab＝13，所以ab＝4，故S△ABC＝absin C＝×4×＝.]‎ ‎【押题2】　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2c＋a＝2bcos A.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．‎ ‎[解]　(1)由‎2c＋a＝2bcos A及正弦定理，‎ 得2sin C＋sin A＝2sin Bcos A，‎ 又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以2sin Acos B＋sin A＝0，‎ 因为sin A≠0，所以cos B＝－，‎ 因为0＜B＜π，所以B＝.‎ ‎(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝.‎ 因为cos∠BAC＝＝＝，‎ 所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋－2×3××＝，‎ 所以BD＝.‎