西藏山南市第二高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
数学（理科）试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合A={x|–1
1}，则A∪B=（ ）
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
2.复数 (为虚数单位)的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
4.已知等差数列中，则（ ）
A. 10 B. 16 C. 20 D. 2
5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 0
8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
9.某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ ）
A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题成立
C. 当时，该命题成立 D. 当时，该命题不成立
10.根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 第10题图
12.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是 （ ）
A. B. －2 C. 0 D. －3
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.若，且，则的最小值是__________.
14.已知向量，，若，则实数m=__________.
15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取__________人．
16.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为__________.
三．解答题（共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17.（本题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求∠B的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值.
18.（本题满分12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
19.（本题满分12分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件A为 “选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；
（2）用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望
20.（本题满分12分）已知函数，当时，有极大值3；
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极小值及单调区间.
21.（本题满分12分）已知点，若点满足.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点， 求面积的最大值及此时直线l的方程.
（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知．
（1）已知关于x的不等式有实数解，求a的取值范围；
（2）求不等式的解集．
数学（理科）答案
时间：150分钟 分值：150分
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合A={x|–11}，则A∪B=（ C ）
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
2.复数 (为虚数单位)的共轭复数是（ A ）
A. B. C. D.
3.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ B ）
A. B. C. D.
4.已知等差数列中，则（ C ）
A. 10 B. 16 C. 20 D. 2
5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ D ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（ A ）
A. B. C. D.
7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( C )
A. B. 1 C. 2 D. 0
8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
9.某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ D ）
A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题成立
C. 当时，该命题成立 D.当时，该命题不成立
10.根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（ C ）
A. 1 B. C. D.
【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<，程序运行结束，得
11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ C ）
A. B. C. D.
12.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是 （ A ）
A. B. －2 C. 0 D. －3
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.若，且，则的最小值是____8__.
14.已知向量，，若，则实数m=__-2____.
15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取___300__人．
16.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为__2ex-y=0________.
三．解答题（共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17.（本题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求∠B的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值.
解析：（1）由正弦定理得
，又
，得：………………………………………………………………6分
（2）由余弦定理得：
又（当且仅当时取等号）
……………………………………10分
三角形面积的最大值为：.……………………………………………12分
18.（本题满分12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
【详解】（1）证明：取PD中点G，连结
为的中位线，且，
又且，且，
∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，
又面，面，
面；………………………………………………………………………………………5分
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面面，为正三角形，
面，且，
连交于，可得，
，则，即．
连，又，
可得平面，则，
即是二面角的平面角，………………………………………………9分
在中，
∴，即二面角的正切值为．…………12分
19.（本题满分12分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件A为 “选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；
（2）用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望
解析： （1） ……………………………………………4分
（2）可能取值为0，1，2，3,
,,
,,………………………………8分
的分布列为
0
1
2
3
……………10分
.………………………………………………………12分
20.（本题满分12分）已知函数，当时，有极大值3；
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极小值及单调区间.
解析：（1）由题意，函数，则，…………1分
由当时，有极大值，则，………………………………4分
解得.………………………………………………………………………5分
（2）由（1）可得函数的解析式为，
则，………………………………………………6分
令，即，解得，
令，即，解得或，…………………………10分
所以函数的单调减区间为，递增区间为，
当时，函数取得极小值，极小值为.…………………………………12分
21.（本题满分12分）已知点，若点满足.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点， 求面积的最大值及此时直线l的方程.
解析：（1）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且.
因此椭圆的方程为.………………………………………………………5分
（2）设直线的方程为与椭圆交于点，
，联立直线与椭圆的方程消去可得，
即，.…………………………………………………7分
面积可表示为
令，则，上式可化为，
当且仅当，即时等号成立，………………………………………10分
因此面积的最大值为，此时直线的方程为.…………12分
（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
已知直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.
解析：（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：………………2分
曲线极坐标方程可化为：
则曲线的直角坐标方程为：，即.………………………5分
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：
设两点对应的参数分别为：，则，
.………………………10分
23. [选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知．
（1）已知关于x的不等式有实数解，求a的取值范围；
（2）求不等式的解集．
解析：(1)因为不等式有实数解，所以………………………2分
因为，所以………………4分
故.……………………………………………………………………………………5分
（2）…………………………………………………………6分
①当时，，所以，故
②当时，，所以，故
③当时，，所以，故…………………9分
综上，原不等式的解集为.……………………………………………………10分
