数学理·河北省邯郸市武安三中2017届高三上学期期中考试数学理试卷+Word版含解析

数学理·河北省邯郸市武安三中2017届高三上学期期中考试数学理试卷+Word版含解析

‎2016-2017学年河北省邯郸市武安三中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．请将正确的选项填涂在答题卡上．）‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）‎ ‎2．“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．曲线（θ为参数）的对称中心（　　）‎ A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上 C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上 ‎4．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎5．函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+∞）‎ ‎6．若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（　　）‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数24‎ ‎8．函数f（x）=sin（﹣x），则要得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）f A．向左平移个单位 B．向左平移个单位X C．向右平移个单位 D．向右平移个单位j ‎9．若函数y=sinx+f（x）在[﹣，]内单调递增，则f（x）可以是（　　）h A．1 B．cosx C．sinx D．﹣cosx+‎ ‎10．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递增，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是（　　）1‎ A． B． C． D．7‎ ‎11．下面有四个命题：T ‎①函数y=tan x在每一个周期内都是增函数．+‎ ‎②函数y=sin（2x+）的图象关于直线x=对称；n ‎③函数y=tanx的对称中心（kπ，0），k∈Z．y ‎④函数y=sin（2x﹣）是偶函数．c 其中正确结论个数（　　）h A．0 B．1 C．2 D．3t ‎12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）B A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．o ‎13．已知4a=2，lgx=a，则x=　　．r ‎14．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则=　　．7‎ ‎15．已知函数f（x）=|x﹣2|+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是　　．u ‎16．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是　　．D ‎　‎ 三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）g ‎17．（10分）已知直线l：（t为参数），曲线C1： （θ为参数）．设l与C1相交于A，B两点，求|AB|．=‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．=‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎19．（12分）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．‎ ‎21．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．‎ ‎（Ⅰ）证明：B﹣A=；‎ ‎（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R ‎（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；‎ ‎（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；‎ ‎（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市武安三中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．请将正确的选项填涂在答题卡上．）‎ ‎1．（2016春•沧州校级期末）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】计算题；定义法；集合．‎ ‎【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），‎ B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），‎ ‎∴A∩B=（，3），‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2015秋•广安期末）“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】操作型；对应思想；简易逻辑；推理和证明．‎ ‎【分析】解方程“（x﹣2）•（x+5）=0”，进而结合充要条件的定义可得答案．‎ ‎【解答】解：当“x=2”时，“（x﹣2）•（x+5）=0”成立，‎ 故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的充分条件；‎ 当“（x﹣2）•（x+5）=0”时，“x=2”不一定成立，‎ 故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的不必要条件，‎ 故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•北京）曲线（θ为参数）的对称中心（　　）‎ A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上 C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上 ‎【考点】圆的参数方程．‎ ‎【专题】选作题；坐标系和参数方程．5795506‎ ‎【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．‎ ‎【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•福建）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，‎ tanα==﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+∞）5795506‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，‎ 即log2x＞1或log2x＜﹣1，‎ 解得x＞2或0＜x＜，‎ 即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．‎ ‎【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．‎ ‎　5795506‎ ‎7．（2013•湖北）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（　　）‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 ‎【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．‎ ‎【专题】计算题；新定义．‎ ‎【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，5795506‎ ‎∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），‎ ‎∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2010•杭州校级模拟）函数f（x）=sin（﹣x），则要得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【考点】函数的图象与图象变化．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】把y=cos（x+）化为y=sin[﹣（x+）]故把把函数f（x）=sin（﹣x）的图象向左平移 个单位，即得函数y=cos（x+）的图象．‎ ‎【解答】解：y=cos（x+）=sin[﹣（x+）]‎ ‎=sin（﹣﹣x）=sin[﹣（x+）]‎ 故把函数f（x）=sin（﹣x）的图象向左平移 个单位，即得函数y=cos（x+）的图象，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+φ）图象的变换，把y=cos（x+）化为y=sin[﹣（x+）]，是解题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2012•阳谷县校级模拟）若函数y=sinx+f（x）在[﹣，]内单调递增，则f（x）可以是（　　）‎ A．1 B．cosx C．sinx D．﹣cosx ‎【考点】正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】A、C在[﹣，]内单调递增是不正确的；对于B，y=sinx+cosx，化简判断单调性即可判断正误；y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知A、C显然不满足题意，排除；对于B，y=sinx+cosx=sin（x+），在[﹣，]内不是单调递增，所以不正确；‎ 对于D：y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），﹣≤x﹣≤，满足题意，所以f（x）可以是﹣cosx．‎ 故选D ‎【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的单调性的应用，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•海口校级模拟）已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递增，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是（　　）5795506‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5．‎ 所以，即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），‎ 所以函数f（x）在[﹣3，0]上单调递减，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m﹣1）2﹣1＜0，‎ 所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•武安市校级期中）下面有四个命题：‎ ‎①函数y=tan x在每一个周期内都是增函数．‎ ‎②函数y=sin（2x+）的图象关于直线x=对称；‎ ‎③函数y=tanx的对称中心（kπ，0），k∈Z．‎ ‎④函数y=sin（2x﹣）是偶函数．‎ 其中正确结论个数（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】利用三角函数的奇偶性、以及它们的图象的对称，判断各个选项是否正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：①函数y=tan x在每一个周期内都是增函数，错误，如函数在一个周期（0，π）上不是增函数．‎ ‎②函数y=sin（2x+）=﹣sin（2x+）的图象关于直线x=对称正确，‎ 因为当x=时，y=﹣sin=﹣1，是函数的最小值．‎ ‎③函数y=tanx的对称中心（kπ，0），k∈Z，不正确，‎ 例如（，0）也是该函数的图象的对称中心．‎ ‎④函数y=sin（2x﹣）=﹣cos2x 是偶函数，正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性、以及它们的图象的对称，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•新课标II）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．‎ ‎【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，‎ ‎∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，‎ 即当x＞0时，g′（x）恒小于0，‎ ‎∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，‎ 又∵g（﹣x）====g（x），‎ ‎∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）==0，‎ ‎∴函数g（x）的图象性质类似如图：‎ 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0‎ ‎⇔或，‎ ‎⇔0＜x＜1或x＜﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．‎ ‎13．（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=　　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．‎ ‎【解答】解：由4a=2，得，‎ 再由lgx=a=，‎ 得x=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2009•宁夏）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则=　0　．‎ ‎5795506‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】先根据图象可得到周期T进而可知ω的值，确定函数f（x）的解析式后将x=代入即可得到答案．‎ ‎【解答】解：根据图象可知，所以T=π，‎ 因为，所以ω=3，‎ 当x=时，f（）=0，即，可得，‎ 所以．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题主要考查已知三角函数的部分图象求函数解析式的问题．属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（2015秋•忻州校级期末）已知函数f（x）=|x﹣2|+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由题意作图，由临界值求实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，作图如图，‎ 方程f（x）=g（x）有两个不等实数根可化为 函数f（x）=|x﹣2|+1与g（x）=kx的图象有两个不同的交点，‎ g（x）=kx表示过原点的直线，斜率为k，‎ 如图，当过点（2，1）时，k=，有一个交点，‎ 当平行时，即k=1是，有一个交点，‎ 结合图象可得，＜k＜1；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了方程的根与函数的交点的关系，同时考查了函数的图象的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•广西）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是　（﹣∞，2]　．‎ ‎【考点】复合三角函数的单调性．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．‎ ‎【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx ‎=﹣2sin2x+asinx+1，‎ 令t=sinx，‎ 则原函数化为y=﹣2t2+at+1．‎ ‎∵x∈（，）时f（x）为减函数，‎ 则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，‎ ‎∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．‎ ‎∴，解得：a≤2．‎ ‎∴a的取值范围是（﹣∞，2]．‎ 故答案为：（﹣∞，2]．‎ ‎【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（2016秋•武安市校级期中）已知直线l：（t为参数），曲线C1： （θ为参数）．设l与C1相交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【专题】选作题；方程思想；综合法；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出|AB|．‎ ‎【解答】解：直线l：（t为参数），普通方程为y=（x﹣1），‎ 曲线C1： （θ为参数），普通方程为x2+y2=1．‎ 圆心到直线的距离d=，‎ ‎∴|AB|=2=1．‎ ‎【点评】本题考查参数方程化为普通方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016春•寿县校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，‎ 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，‎ ‎∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC ‎∴cosC=，‎ 又0＜C＜π，‎ ‎∴C=；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，‎ ‎∴（a+b）2﹣3ab=7，‎ ‎∵S=absinC=ab=，‎ ‎∴ab=6，‎ ‎∴（a+b）2﹣18=7，‎ ‎∴a+b=5，‎ ‎∴△ABC的周长为5+．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•北京）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】函数思想；转化思想；转化法；导数的概念及应用．5795506‎ ‎【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，‎ ‎∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，‎ 同时f′（2）=e﹣1，‎ ‎∵f（x）=xea﹣x+bx，‎ ‎∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，‎ 则，‎ 即a=2，b=e；‎ ‎（Ⅱ）∵a=2，b=e；‎ ‎∴f（x）=xe2﹣x+ex，‎ ‎∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，‎ f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，‎ 由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，‎ 即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，‎ ‎∴f′（x）＞0恒成立，‎ 即函数f（x）是增函数，‎ 即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，‎ ‎∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．‎ ‎（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣‎ 当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：[，]，‎ 故g（x）在区间[，π]上的值域是[，]．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．‎ ‎（Ⅰ）证明：B﹣A=；‎ ‎（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，‎ ‎∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）‎ 又B为钝角，∴+A∈（，π），‎ ‎∴B=+A，∴B﹣A=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，‎ ‎∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）‎ ‎=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A ‎=﹣2（sinA﹣）2+，‎ ‎∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，‎ ‎∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤‎ ‎∴sinA+sinC的取值范围为（，]‎ ‎【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015秋•汕头校级期末）设函数f（x）=lnx+，m∈R ‎（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；‎ ‎（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；‎ ‎（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【专题】导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．‎ ‎（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．‎ ‎（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，‎ 解f′（x）＞0，得x＞e，‎ ‎∴f（x）单调递增；‎ 同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ ‎∴f（x）只有极小值f（e），‎ 且f（e）=lne+=2，‎ ‎∴f（x）的极小值为2．‎ ‎（2）∵g（x）===0，‎ ‎∴m=，‎ 令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，‎ 则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），‎ 令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，‎ ‎∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；‎ 同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，‎ ‎∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．‎ ‎∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；‎ 当0＜m＜时，g（x）有2个零点；‎ 当m＞时，g（x）没有零点．‎ ‎（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，‎ 等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；‎ 设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），‎ 则h（b）＜h（a）．‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），‎ ‎∴m≥；‎ 对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；‎ ‎∴m的取值范围是[，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查实数值的求法，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．‎