【数学】新疆哈密市第十五中学2020届高三6月热身试题（解析版）
新疆哈密市第十五中学2020届高三6月热身数学试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合,则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A． i B．–i C．1 D．–1
3．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知A(0,1),B(2,3),C(4,-1),D(x,y)，若,则y=（ ）
A.6 B.7 C.9 D.12
5．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的部分图像如图所示，给出下列四个结论：
①的最小正周期为； ②的最小值为；
③是的一个对称中心； ④函数在区间上单调递增.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
9．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合，从集合中任取一个元素，则函数在上是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（ ）
A．{x|0
2} B．{x|x<0或x>2} C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<–1或x>1}
11．函数在点处的切线斜率为4，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
12．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D,E分别为AB，AC的中点，则______
14．已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.
15．在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=135°，，则AD=_____.
16．三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形且，，是的一点，且，．
（1）求证：平面；
（2）(文科做)求三棱锥的体积．
（理科做）求二面角A-BC-P的余弦值.
19．（本小题满分12分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班名女同学，名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.
（1）（文科理科都做）如果按照性别比例分层抽样，应抽取男生女生各多少人？
（2）如果随机抽取名同学的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表：
（文科做）若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取2名同学只看其数学成绩，求至少一人数学优秀的概率。
(理科做)若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取名同学，记名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）（文科理科都做）根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到），若班上某位同学的数学成绩为分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，其中.
20．（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，已知圆，线段的中点是坐标原点，设直线的斜率分别为，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设直线分别交圆于点，直线的斜率分别为，已知直线与轴交于点.问：是否存在常数，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）设为函数的极小值点，证明：
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）求直线被曲线所截的弦长.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求证：.
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
A
B
D
C
A
C
D
A
B
D
1．【答案】B【解析】因为集合，
所以,故选B.
2．【答案】A
【解析】，
所以，虚部为1故本题选C
3．【答案】A
【解析】命题“，”为全称命题，否定为“，”，
故选：A.
4．【答案】B
5．【答案】D【解析】对数函数为上的增函数，则；
对数函数为上的减函数，则；
指数函数为上的增函数，则，即.因此，.故选：D.
6．【答案】C【解析】由图象知函数的最小正周期为，则，即，又由，得，由可知，从而，又，可得，所以，从而，易判断①②正确，而，所以③错误，
又由，得的增区间为
，
可知当时，是的一个增区间，④正确，故选：C
7．【答案】A【解析】令，则，再取，则，显然，故排除选项B、C；再取时，，又当时，，故排除选项D.故选：A.
8．【答案】C【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为，高为，故半圆柱的体积为，三棱柱的底面三角形的一边长为，该边上的高为，该三棱柱的高为，故该三棱柱体积为，所以该“柱脚”的体积为．
故选：C．
9．【答案】D【解析】执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.故选D．
10．【答案】A【解析】为奇函数，时，单调递增，时，也单调递增，由，得，，，的取值范围为或，故选A.
11．【答案】B【解析】，，所以.
则.
当且仅当，时，等号成立.故选：B
12．【答案】D【解析】不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．故选：D
13．【答案】
14．2 2
【解析】点代入抛物线方程得：，解得：；
抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：故答案为2,2
15．【答案】2
【解析】如图设，，
∵在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=135°，，
在△ABC中，由正弦定理可得：⇒sinα；
∴；
∴，∴AD=2
.
故答案为：2.
16．
【解析】△ABC是边长为的正三角形，可得外接圆的半径2r2，即r＝1．
∵PA⊥平面ABC，PA＝h，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即，
那么球的半径R,解得h=2,又 ，由 知 ，得 故点到平面的距离为，故答案为．
17．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，所以．
又当时，，所以，当时， ① ②
由得，即（），
所以是首项为1，公比为的等比数列，故．
（2）由（1）得，所以
．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在直三棱柱中，平面，
又平面，∴，又∵∴平面，
又平面，∴，
∵、、，∴，故，
即，又，∴平面．
（2）∵，，
， ∴，（用三角函数更好算长度）
（文科）∴，∴.
（理科）平面PBC的法向量n=（4，0，-3），平面ABC的法向量m=（0，0，1），二面角A-BC-P的余弦值为3/5
19．【解析】（1）根据分层抽样的方法，名女同学中应抽取的人数为，
名男同学中应抽取的人数为，
（2）（文科）5/7
（理科）∵名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，
∴的取值为.∴，，，.∴的分布列为
∴.
（3）∵
∴线性回归方程为.
当时，
可预测该同学的物理成绩为分.
20．【答案】（1）（2）存在；
【解析】（1）设，则，又，
.，又斜率存在，
∴点的轨迹方程是. (4分)
（2）联立得
解得：,. (6分)
联立得.
解得： (10分)
，
∴存在常数，使得. (12分)
21．【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）函数定义域为因为，
当时，恒成立，在上单调递减； (2分)
当时，令得．
当时，，当时， (4分)
综上：当时单调递减区间为，无增区间； (5分)
当时，增区间为，减区间为，
（2）由（1）知当时，在时取得极小值，
的极小值为． (7分)
设函数 (9分)
当的；单调递减；当时；单调递增；
故,即,所以． (12分)
22．【答案】（1）（2）
【解析】（1）消去参数可得， (3分)
因为，所以； (6分)
（2）法一：∵直线经过拋物线焦点，又倾斜角是30°，
∴可设直线的参数方程是（是参数）， (8分)
代入抛物线方程得.
设直线和抛物线交于两点且它们对应的参数分别为，则 (10分)
； (12分)
法二：抛物线的焦点是且在直线上，设交抛物线于
联立抛物线方程和直线方程，消得，所以，
所以. (12分)
23．【答案】（1）或.（2）证明见解析
【解析】（1）当时，
(2分)
当时，
当时，不成立，∴
当时，.
综上得不等式的解集或. (6分)
（2）
，令，则，而在是单调增的
∴当时，
∴当时，. (12分)
