2021高考数学一轮复习课后限时集训8二次函数性质的再研究与幂函数理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训8二次函数性质的再研究与幂函数理北师大版

课后限时集训8‎ 二次函数性质的再研究与幂函数 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知幂函数f(x)＝(m2－‎3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)‎ A．1　 B．‎2　‎　　‎ C．1或2　　 D．3‎ A　[∵函数f(x)为幂函数，∴m2－‎3m＋3＝1，即m2－‎3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件，故选A.]‎ ‎2．已知幂函数f(x)的图像过点，则函数g(x)＝f(x)＋的最小值为 ‎(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．4 D．6‎ A　[设幂函数f(x)＝xα.‎ ‎∵f(x)的图像过点，∴2α＝，解得α＝－2.‎ ‎∴函数f(x)＝x－2，‎ 其中x≠0.‎ ‎∴函数g(x)＝f(x)＋＝x－2＋ ‎＝＋≥2＝1，‎ 当且仅当x＝±时， g(x)取得最小值1.]‎ ‎3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是(　　)‎ A　　　　B　　　　C　　　　D C　[若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c 5‎ 的图像开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.]‎ ‎4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　)‎ A．a＞0,‎4a＋b＝0 B．a＜0,‎4a＋b＝0‎ C．a＞0,‎2a＋b＝0 D．a＜0,‎2a＋b＝0‎ A　[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图像的对称轴为x＝－＝2，∴‎4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是a＞0，故选A.]‎ ‎5．设x＝‎0.20.3‎，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为(　　)‎ A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x A　[由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y＞z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x＜z.所以x＜z＜y.]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．‎ ‎(－∞，－6]∪[4，＋∞)　[由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.]‎ ‎7．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．‎ f(x)＝－4x2－12x＋40　[设f(x)＝a2＋49(a≠0)，方程a 2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，‎ 则|x1－x2|＝14＝7，‎ 所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.]‎ ‎8．已知函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a＞1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8 恒成立，则a的最大值为________．‎ ‎2　[令ax＝t，因为a＞1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋‎3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a＞1，所以a的最大值为2.]‎ 三、解答题 ‎9．求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．‎ 5‎ ‎[解]　函数f(x)＝－ 2＋的图像的对称轴为x＝，应分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三种情形讨论．‎ ‎(1)当a＜－2时，由图①可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)．‎ ‎(2)当－2≤a≤2时，由图②可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝.‎ ‎(3)当a＞2时，由图③可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1.‎ ‎　　 　图①　　　　　图②　　　　图③‎ 综上可知，f(x)max＝ ‎10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝2x＋m的图像的上方，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，‎ 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.‎ 所以，‎2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，‎ 因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.‎ ‎(2)因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，‎ 所以在[－1,1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立，‎ 即x2－3x＋1＞m在区间[－1,1]上恒成立．‎ 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，‎ 因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，‎ 所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．‎ ‎1．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)‎ C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)‎ A　[不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，‎ 5‎ 令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，‎ 所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.]‎ ‎2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：‎ ‎①b2＞‎4ac；②‎2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④‎5a＜b.‎ 其中正确的是(　　)‎ A．②④ B．①④‎ C．②③ D．①③‎ B　[因为图像与x轴交于两点，所以b2－‎4ac＞0，即b2＞‎4ac，①正确；‎ 对称轴为x＝－1，即－＝－1,‎2a－b＝0，②错误；‎ 结合图像，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；‎ 由对称轴为x＝－1知，b＝‎2a.‎ 又函数图像开口向下，所以a＜0，所以‎5a＜‎2a，即‎5a＜b，④正确．]‎ ‎3．已知y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．‎ ‎1　[当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈－，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2＋(‎2a－1)x－3.‎ ‎(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，‎ 对称轴为x＝－∈[－2,3]，‎ ‎∴f(x)min＝f＝－－3＝－，‎ f(x)max＝f(3)＝15，‎ ‎∴函数f(x)的值域为.‎ ‎(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.‎ ‎①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝‎6a＋3，‎ ‎∴‎6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；‎ ‎②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－‎2a－1，‎ ‎∴－‎2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．‎ 5‎ 综上可知，a＝－或－1.‎ ‎1．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．‎ 　[由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图像有两个交点．]‎ ‎2．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　f(x)＝(x－a)2＋a－a2，‎ 当－2≤a＜－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，‎ ‎∴由得a＝－1(舍去)；‎ 当－1≤a≤0时，由得a＝－1；‎ 当0＜a≤1时，由得a不存在；‎ 综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝－1.‎ 5‎