福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

泉港一中2018-2019学年下学期期末考高二文科数学试题 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1.集合，则（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,，故选B.‎ ‎2.设，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由求导公式求出，根据偶函数的性质求出，然后利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程。‎ ‎【详解】，因为是偶函数，‎ 所以，即 解得，‎ 所以，，‎ 则，所以切线方程为 故选C ‎【点睛】本题主要考查利用导函数求曲线上一点的切线方程，属于基础题。‎ ‎3.若，则“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将复数化简成形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出的取值范围，即可判断与的关系。‎ ‎【详解】，所以共轭复数，‎ 因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 所以，解得 ‎ 所以“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“” 充要条件，故选C ‎【点睛】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出的取值范围，属于一般题。‎ ‎4.设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，求得，即可得到答案。‎ ‎【详解】由题意知，动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，‎ 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，则方程为 故选A ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题。‎ ‎5.已知函数，若对于区间上的任意，都有 ‎，则实数的最小值是(　　)‎ A. 20 B. 18‎ C. 3 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上 的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出 结论．‎ ‎【详解】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，‎ 等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，‎ ‎∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），‎ ‎∵x∈[﹣3，2]，‎ ‎∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减，‎ ‎∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19，‎ ‎∴f（x）max﹣f（x）min=20，‎ ‎∴t≥20，‎ ‎∴实数t的最小值是20，‎ 故答案为：A ‎【点睛】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．‎ ‎6.已知函数是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题得出函数的周期，再将变量调节到范围内进行求解。‎ ‎【详解】因为，所令，则，所以可得，即，所以函数的周期为，‎ 则，‎ 又因为函数是定义在上的偶函数，且当时，‎ 所以 故选D ‎【点睛】本题考查函数的基本性质，包括周期性，奇偶性，解题的关键是先求出函数的周期，属于一般题。‎ ‎7.已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（ ）‎ A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上 C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由两个双曲线的方程计算出两个双曲线的焦点坐标，焦距，渐近线方程以及离心率，进而分析选项即可得到答案。‎ ‎【详解】根据题意，双曲线，其中，，则，则焦距，焦点坐标，渐近线方程为，离心率；‎ 双曲线，其标准方程为，其中，，则，则焦距，焦点坐标，渐近线为，离心率 ‎；‎ 据此依次分析选项：‎ 两个双曲线的焦距均为，故A正确；双曲线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，都在圆上，故B正确；渐近线方程均为，故C正确；双曲线的离心率，双曲线的离心率，离心率不相等，故选D ‎【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意将双曲线的方程变为标准形式，属于基础题。‎ ‎8.已知函数且，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.‎ 详解：因为，所以,为偶函数，‎ 因为当时，单调递增，所以等价于，即，或，‎ 选A.‎ 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎9.已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为边的中点，由双曲线的定义可得，因为正三角形的边长为，所以有，进而解得答案。‎ ‎【详解】因为边的中点在双曲线上，设中点为，则，,‎ 因为正三角形的边长为，所以有，‎ 整理可得 ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出的关系式，属于一般题。‎ ‎10.函数的部分图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.‎ ‎【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）‎ f（-x）===f（x），‎ ‎∴f（x）为偶函数，‎ ‎∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，‎ 令f（x）=0，即=0，解得x=0，‎ ‎∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，‎ 当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，‎ 综上所述，只有B符合，‎ 本题选择B选项 ‎【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎11.对于函数，曲线在与坐标轴交点处的切线方程为，由于曲线在切线的上方，故有不等式．类比上述推理：对于函数，有不等式（　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，求出函数与轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线，在与函数图像的位置比较，即可得出答案。‎ ‎【详解】由题意得，且的图像与轴的交点为，则在处的切线斜率为，在处的切线方程为，‎ 因为切线在图像的上方，所以 故选A ‎【点睛】本题考查由导函数求切线方程以及函数图像的位置，属于一般题。‎ ‎12.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恒成立等价于恒成立，令，‎ 则问题转化为，对函数求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。‎ ‎【详解】恒成立等价于恒成立，令，‎ 则问题转化为，‎ ‎，令，‎ 则，所以当时，‎ 所以在单调递减且，‎ 所以在上单调递增，在上的单调递减，‎ 当时，函数取得最大值，，‎ 所以 ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查利用导函数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数，属于一般题。‎ 二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分。将答案填在题中的横线上）‎ ‎13.已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分清所给的变量所在的范围，然后求出函数值即可．‎ 详解】由题意得f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3；‎ 又log212>1，‎ 所以f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，‎ 因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9．‎ ‎【点睛】对于分段函数求函数值的问题，解题的关键是要分清变量所在的范围，然后再根据相关运算求出函数值即可．‎ ‎14.命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，使是假命题，则，使是真命题，对是否等于进行讨论，当时不符合题意，当时，由二次函数的图像与性质解答即可。‎ ‎【详解】，使是假命题，‎ 则，使是真命题，‎ 当，即，转化为，不是对任意的恒成立；‎ 当，，使即恒成立，即 ‎ ，第二个式子化简得，解得或 所以 ‎【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出，使是真命题这一条件，属于一般题。‎ ‎15.已知抛物线，焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先根据题中所给的抛物线的方程，求得抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A点的坐标，根据两点斜率坐标公式求得，从而得到，代入抛物线的方程，求得对应的横坐标，之后求得相应的线段的长度，根据面积公式求得三角形的面积.‎ 详解：因为，所以准线，因为，垂足为，所以设，因为，所以，所以，所以，把代入中，得，所以，所以 ‎，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关抛物线的定义和有关性质的问题，以及直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要对相应的公式和结论要熟记并能熟练地应用，从而求得结果.‎ ‎16.已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，对函数求导，根据条件可得单调递增，且单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解。‎ ‎【详解】的解集为的解集，令，‎ 则，‎ 因为，所以当时有，‎ 所以，‎ 即当时，单调递增，‎ 又因为，所以，‎ 所以的解集为的解集，‎ 由单调性可知， ‎ 又因为为偶函数，所以解集为 ‎【点睛】本题解题关键是构造新函数，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解。‎ 三、解答题：（本题共6个小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立.‎ ‎（Ⅰ）若为真命题，求取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若且为假，或为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）若为真命题，则对任意， 不等式恒成立即，解不等式求解。‎ ‎（Ⅱ）先默认均为真命题得出的取值范围，因为且为假，或为真，所以中一个是真命题，一个是假命题．分真假和假真两种情况讨论解得答案。‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵对任意， 不等式恒成立，‎ 当，由对数函数的性质可知当时，的最小值为 ‎ ‎∴．解得．‎ 因此，若为真命题时，的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）存在，使得成立，∴，‎ 命题为真时，．‎ ‎∵且为假，或为真，‎ ‎∴中一个是真命题，一个是假命题．‎ 当真假时，则解得；‎ 当假真时， 即．‎ 综上所述，取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查由命题的真假求参数以及复合命题的真假求参数问题，属于一般题。‎ ‎18.已知函数．‎ ‎(1)若，当时，求证：． ‎ ‎(2)若函数在为增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)时，设,对函数求导得到函数的单调性，得到函数的最值进而得证；（2）原函数单调递增，即恒成立，变量分离，转化为函数最值问题.‎ ‎【详解】（1）时，设．‎ 则，‎ 在单调递增 ‎．‎ 即. ‎ ‎(2)恒成立，‎ 即对恒成立．‎ ‎∵时，（当且仅当取等号）‎ ‎∴‎ ‎【点睛】这个题目考查了不等式证明问题以及恒成立求参的问题，不等式的证明，常见的方法是，构造函数，转化为函数最值问题；恒成立求参，常采用的方法是变量分离，转化为函数最值问题.‎ ‎19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 违章驾驶员人数 ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；‎ ‎（Ⅱ）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：‎ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 驾龄1年以上 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？‎ 参考公式：，，‎ ‎（其中）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）66人；（Ⅱ）能.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用所给数据，求出线性回归方程，令即可得出答案。‎ ‎（Ⅱ）由列联表中数据计算出观测值，与临界值比较即可。‎ ‎【详解】（I）利用所给数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，‎ ‎＝×（120+105+100+90+85）＝100；==‎ ‎＝100﹣（﹣8.5）×3＝125.5；‎ ‎∴与之间的回归直线方程；‎ 当时，，‎ 即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人；‎ ‎（II）由列联表中数据，计算，‎ 由此能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程与独立性检验，考查学生的理解计算能力，属于简单题。‎ ‎20.已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：必过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.又由知，不经过点，所以点在上.将两点的坐标代入方程，联立即可解得，从而得出的方程；‎ ‎（II）设直线与直线的斜率分别为，，利用设而不求方法证明。‎ ‎【详解】（I）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.‎ 又由知，不经过点，所以点在上.‎ 因此，解得.‎ 故的方程为.‎ ‎（II）设直线与直线的斜率分别为，‎ 将代入得 由题设可知.‎ 设，则.‎ 而 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，则由，得，‎ 所以过定点.‎ ‎【点睛】设而不求方法的一般思路，设出直线与圆锥曲线的的交点坐标，将直线方程和圆锥曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式或斜率关系结合题意解答。‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数极值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ，无极大值；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先对函数求导，利用导数的方法确定函数单调性，进而可得出极值；‎ ‎（Ⅱ）先设，对函数求导，分，和三种情况讨论，用导数方法判断其单调性等，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）令，‎ ‎+‎ 极小值 ‎，无极大值； ‎ ‎（II）对任意，即，‎ 设，， ‎ ‎①当时，单调递增，单调递增，，成立； ‎ ‎②当时，令，单调递增，单调递增，，成立； ‎ ‎③当时，当时，，单调递减，单调递减，，不成立.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值等，属于常考题型.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）点，直线与曲线交于两点，若，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；‎ ‎（Ⅱ）或1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用极直互化公式即可把曲线的极坐标方程化为普通方程，消去参数t求出直线的普通方程即可； ‎ ‎（Ⅱ）联立直线方程和的方程，结合二次函数的性质得到关于的方程，由t的几何意义列方程，解出即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）．‎ ‎，‎ ‎，‎ 而直线l的参数方程为(为参数），‎ 则l的普通方程是：；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①，l的参数方程为(为参数）②，‎ 将②代入①得：，‎ 故，‎ 由，即 解得：或1．‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程以及普通方程的转化，考查直线和曲线的位置关系，是一道常规题．‎ ‎ ‎