高考数学复习 17-18版 附加题部分 第1章 第62课 离散型随机变量的均值与方差

高考数学复习 17-18版 附加题部分 第1章 第62课 离散型随机变量的均值与方差

第62课 离散型随机变量的均值与方差 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 离散型随机变量的均值与方差 ‎√‎ ‎1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值 称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎(2)方差 称V(X)＝σ2＝ (xi－E(X))2pi＝xpi－μ2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝为随机变量X的标准差．‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ ‎(2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数)‎ ‎3．两点分布与二项分布的均值、方差 ‎(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．‎ ‎(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)‎ ‎(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(　　)‎ ‎(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. (　　)‎ ‎(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知X的概率分布为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．‎ 　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，‎ 则E(Y)＝2E(X)＋3＝3－＝.]‎ ‎3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则V(ξ)等于________．‎ ‎8　[∵E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ ‎∴V(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]‎ ‎4．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．‎ 　[同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P＝1－2＝.‎ 又X～B，‎ ‎∴成功次数X的均值E(X)＝2×＝.]‎ ‎5．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X＝1)＝________.‎ 　[∵E(X)＝np＝6，‎ V(X)＝np(1－p)＝3，‎ ‎∴p＝，n＝12，‎ 则P(X＝1)＝C××11＝3×2－10＝.]‎ 离散型随机变量的均值、方差 ‎　设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．‎ ‎(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；‎ ‎(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 【导学号：62172334】‎ ‎[解]　(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.‎ 故P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ P(ξ＝4)＝＝，‎ P(ξ＝5)＝＝，‎ P(ξ＝6)＝＝.‎ 所以ξ的概率分布为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)由题意知η的概率分布为 η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(η)＝＋＋＝，‎ D(η)＝2·＋2·＋2·＝，‎ 化简得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.‎ ‎[规律方法]　1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．‎ ‎2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)的应用．‎ ‎[变式训练1]　(2016·苏北四市摸底)已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．‎ ‎(1)求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；‎ ‎(2)记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的概率分布和数学期望．‎ ‎[解]　(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C·C·C＋C＝21种．‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝＝＝，‎ P(X＝1)＝＝＝，‎ P(X＝3)＝＝＝，‎ P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝.‎ X的概率分布为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 与二项分布有关的均值、方差 ‎　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和数学期望及方差. 【导学号：62172335】‎ ‎[解]　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，‎ A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，‎ B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 由题意知A1与A2相互独立，A1 与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2.‎ 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，‎ 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，‎ P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)‎ ‎＝P(A1)P()＋P()P(A2)‎ ‎＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.‎ 于是P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C12＝，‎ P(X＝2)＝C21＝，‎ P(X＝3)＝C30＝.‎ 故X的概率分布为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望为E(X)＝3×＝.‎ 随机变量X的方差V(X)＝3×＝.‎ ‎[规律方法]　1.求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．‎ ‎2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，此时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)．同样还可求出V(aξ＋b)．‎ ‎[变式训练2]　空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2015年某地某月10天的AQI的茎叶图如图621所示．‎ 图621‎ ‎(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)‎ ‎(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列、数学期望和方差．‎ ‎[解]　(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为＝，‎ 从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝18.‎ ‎(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为，‎ ξ的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝C2＝，‎ P(ξ＝2)＝C2＝，P(ξ＝3)＝3＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 显然ξ～B，E(ξ)＝3×＝1.8，随机变量ξ的方差V(ξ)＝3×＝.‎ 均值与方差在决策中的应用 ‎　有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下：‎ X甲 ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ P ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.5‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ X乙 ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ P ‎0.13‎ ‎0.17‎ ‎0.4‎ ‎0.17‎ ‎0.13‎ 其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量．‎ ‎[解]　由题意，得E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×‎ ‎0.1＝30，‎ E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.‎ 又V(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，‎ V(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，‎ 所以E(X甲)＝E(X乙)，V(X甲)＜V(X乙)，故甲种棉花的质量较好．‎ ‎[规律方法]　1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差．‎ ‎2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．‎ ‎[变式训练3]　(2016·扬州期末)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止. ‎ ‎(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；‎ ‎(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．‎ ‎[解]　(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M.‎ 则P(M)＝×＝，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为.‎ ‎(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：‎ ‎①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x可取0，m，m＋n，‎ 则P(x＝0)＝，P(x＝m)＝×＝，P(x＝m＋n)＝×＝；‎ E(X)＝0×＋m×＋(m＋n)×＝＋；‎ ‎②先在乙箱中摸球，参与者获奖金η可取0，n，m＋n，‎ 则P(η＝0)＝，P(η＝n)＝ ×＝，P(η＝m＋n)＝×＝，‎ E(η)＝0×＋n×＋(m＋n)×＝＋，‎ E(X)－E(η)＝，‎ 当>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当＝时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；‎ 当<时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．‎ 即当>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当＝时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当<时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)(a，b为常数)．‎ ‎(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．‎ ‎(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．‎ ‎2．求离散型随机变量的均值与方差的基本方法 ‎(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解．‎ ‎(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．‎ ‎(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．‎ ‎2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)易错易混．‎ ‎3．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．‎ 课时分层训练(六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，求ξ的方差．‎ ‎[解]　依题意，随机变量ξ服从超几何分布，ξ可能的取值为1,2,3.‎ P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3.‎ ξ的概率分布为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ V(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝0.4.‎ ‎2．现有一游戏装置如图622，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票，若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．‎ 图622‎ ‎(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；‎ ‎(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的概率分布及均值.‎ ‎ 【导学号：62172336】‎ ‎[解]　(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为2＋2＝.‎ ‎(2)落入A槽的概率为2＝，‎ 落入B槽的概率为，‎ 落入C槽的概率为2＝.‎ X的所有可能取值为0,5,10，‎ P(X＝0)＝3＝，‎ P(X＝5)＝＋×＋2×＝.‎ P(X＝10)＝＋×＋2×＝.‎ 所以X的概率分布为 X ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ P E(X)＝0×＋5×＋10×＝.‎ ‎3．(2017·南通二调)一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N＋)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．‎ ‎(1)求概率P(X＝0)的值；‎ ‎(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．‎ ‎(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！) 【导学号：62172337】‎ ‎[解]　(1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，‎ 则P(X＝0)＝3××2＝.‎ ‎(2)依题意，X的可能值为k，－1,1,0，‎ 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝，P(X＝0)＝，‎ 结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝(元)．‎ 为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110.‎ ‎4．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的概率分布和数学期望E(X)．‎ ‎[解]　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，‎ 记事件B：“乙第一轮猜对”，‎ 记事件C：“甲第二轮猜对”，‎ 记事件D：“乙第二轮猜对”，‎ 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．‎ 由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，‎ 由事件的独立性与互斥性，‎ P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝，‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.‎ ‎(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝，‎ P(X＝1)＝2× ‎＝＝，‎ P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，‎ P(X＝4)＝2× ‎＝＝，‎ P(X＝6)＝×××＝＝.‎ 可得随机变量X的概率分布为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．‎ ‎(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；‎ ‎(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．‎ ‎[解]　(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：‎ 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．‎ 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率 P＝C23＋C2C3＋C3C3＝.‎ ‎(2)ξ的取值为0,1,2,3，所以ξ的概率分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.‎ ‎2．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．‎ ‎(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：‎ 年入流量X ‎40＜X＜80‎ ‎80≤X≤120‎ X＞120‎ 发电机最多 可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎[解]　(1)依题意，p1＝P(40＜X＜80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，‎ p3＝P(X＞120)＝＝0.1.‎ 由二项分布知，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.‎ ‎(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．‎ ‎①安装1台发电机的情形．‎ 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.‎ ‎②安装2台发电机的情形．‎ 依题意知，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：‎ Y ‎4 200‎ ‎10 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.‎ ‎③安装3台发电机的情形．‎ 依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y ‎＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：‎ Y ‎3 400‎ ‎9 200‎ ‎15 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．‎ ‎3．(2017·南通模拟)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为，购买C种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．‎ ‎(1)求该网民至少购买2种商品的概率；‎ ‎(2)用随机变量h表示该网民购买商品的种数，求h的概率分布和数学期望．‎ ‎[解]　(1)记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i＝2,3，则：P(A3)＝××＝，‎ P(A2)＝××＋××＋××＝，‎ 所以该网民至少购买2种商品的概率为P(A3)＋P(A2)＝＋＝.‎ 该网民至少购买2种商品的概率为.‎ ‎(2)随机变量h的可能取值为0,1,2,3，‎ P(h＝0)＝××＝，‎ 又P(h＝2)＝P(A2)＝，P(h＝3)＝P(A3)＝，所以P(h＝1)＝1－－－＝.‎ 所以随机变量h的概率分布为：‎ h ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故数学期望E(h)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎4．(2017·苏州市期中)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测式，共设置了A，B，C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为，通过项目B，C的概率均为a(0

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