2019-2020学年江苏省大丰市新丰中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省大丰市新丰中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省大丰市新丰中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由交集定义即可得到结果 ‎【详解】‎ 根据交集的定义可得,‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查集合的列举法表示,考查交集的定义,属于基础题 ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域满足，即为．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎3．已知函数，则的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．函数 ‎，所以；对应的函数值分别为：；所以函数的值域为：故答案为B．‎ ‎【考点】函数值域 ‎4．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为(　　)‎ A． ，0 B．－2,0 C． D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对四个选项逐一分析奇偶性和在上的单调性，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，，所以函数是奇函数，不符合题意；‎ 选项B是偶函数，但由于二次函数的开口向下，在上单调递减.不符合题意；‎ 选项C是偶函数，且在上是单调递增，符合题意； ‎ 选项D是奇函数，在上单调递减，不符合题意．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.‎ ‎6．已知，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将指数均整理为正数的形式,即,根据函数单调递减可得；再借助中间值,由函数单调递减可得；由函数单调递增,可得,进而,故可得到、、的大小关系 ‎【详解】‎ 由题,,则当时,函数单调递减,,‎ 当时,函数单调递减,,‎ 当时,函数单调递增,,即 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查比较指数的大小关系,需灵活利用指数函数的单调性及幂函数的单调性,比较大小时可借助中间值来处理.‎ ‎7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2－3x+1，则f(1)+f(0)等于（　　）‎ A．5 B．6 C．－5 D．－6‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据的函数解析式以及奇函数计算的值，注意的特殊性.‎ ‎【详解】‎ 因为是上的奇函数，所以且，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数奇偶性求值，难度较易.当奇函数在处有定义时，一定要注意：.‎ ‎8．设奇函数f(x)满足：①f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②f(1)＝0，则不等式(x+1)f(x)>0的解集为（ ）‎ A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(0,1)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(1，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，故可分四段：去考虑.‎ ‎【详解】‎ 因为在递增且，所以当时，，所以，当时，，所以；又因为是奇函数，所以在递增且，所以当时，，所以，当时，，所以；综上解集为：，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的奇偶性、单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性以及单调性解不等式的问题，除了可以按部就班的分析还可以通过函数的大致图象来分析问题，也就是数形结合.‎ ‎9．函数的图象为( ) ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数过点,可排除选项；由当时，，可排除选项，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式得，该函数的定义域为，当时，，即函数过点,可排除选项；‎ 当时，，即函数在的图象是在的图象，可排除选项，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎10．设，且，则（ ）‎ A． B． C．或 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，由等式（）两边取对数，可得，所以可得，选A.‎ ‎【点睛】‎ 指数式的等式常与对数式互化把指数表示出，再进行合理运算。如本题把指数利用指数式与对数式互化用m表示，从而进行运算。‎ ‎11．设，若f()＝f(＋1)，则＝(　 　)‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用已知条件，求出的值，然后求解所求的表达式的值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，，若，可得，‎ 解得，则；‎ 当时，，若，可得，显然无解，‎ 综上可得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中分类讨论由题设条件，转化为的方程，求解的值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理、运算能力，属于中档试题.‎ ‎12．已知函数，且是单调递增函数，则实数的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数以及一次函数的图像与性质求出a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由是单调递增函数，可知：‎ ‎，‎ 解得：‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的图像与性质，考查函数的单调性，注意分界点处函数值的关系.‎ 二、填空题 ‎13．设幂函数的图像经过点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎14．已知，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先令,可得,代回函数关系式可得,进而求得 ‎【详解】‎ 令,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知函数值求参数,考查函数转换的思想,属于基础题 ‎15．函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（用区间表示）__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数的图象，结合图象可知实数的取值范围 ‎【详解】‎ 作出函数的图象：‎ 由图可知，若函数的图象不经过第二象限，则将 至少向下移动2个单位，则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了与指数相关的函数的图像与性质，考查了图像平移变换，属于中档题．‎ ‎16．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，分析可得f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），由函数奇偶性的定义分析可得g（x）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＞|x+2|，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，g（x）＝f（x）+x2，‎ 则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），‎ 若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g（x）为偶函数，‎ 又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，‎ 则g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＜|x+2|⇒（x+1）2＜（x+2）2，解可得x，‎ 即不等式的解集为（，+∞）；‎ 故答案为：（，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，，‎ 求（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】（1）求出集合中表示元素的范围，然后直接求解补集；（2）将中的表示元素范围写出，然后根据交集定义求解交集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，所以，则或；‎ ‎（2）因为，所以或，所以或，且，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的补集和交集运算,难度较易.‎ ‎18．求值：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎【答案】（1）16；（2）3‎ ‎【解析】（1）利用指数幂的运算法则求值,即可得解；‎ ‎（2）利用对数的运算法则,凑出,即可得解 ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用指数运算法则,对数运算法则求值,考查运算能力 ‎19．函数为上的奇函数，且．‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若区间恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据奇函数的性质求b，再代值计算求出a；‎ ‎（2）求出函数f（x）的最大值即可，根据基本不等式即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，对一切成立，‎ 即恒成立，，． ‎ 又，. ． ‎ ‎（2）在区间上任取，，且，则 ‎，‎ ‎． ‎ ‎，，，　又，，‎ 故知，，．‎ 故知，函数在上单调递减．． ‎ 若区间恒成立，，即，，或，的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数恒成立的问题以及奇函数的性质和基本不等式，属于中档题．‎ ‎20．销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金 万元的关系分别为，，（其中都为常数），函数对应的曲线、如图所示．‎ ‎（1）求函数与的解析式；‎ ‎（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）该商场所获利润的最大值为1万元.‎ ‎【解析】（1）分别将与代入解析式中,即可求得,,,需注意标出范围 ；‎ ‎（2）设总利润,设甲商品投资万元,乙投资万元,分别代入,,可得,利用换元法,设,则,即可求得最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,将与代入得,,解得,‎ 将代入中,可得,；‎ ‎(2)设销售甲商品投资万元,则乙投资万元,则,,‎ 设总利润,‎ 令,则,‎ 当即时,取到最大值为. ‎ 答：该商场所获利润的最大值为1万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由图象求解析式,考查函数的应用问题,考查函数的最值问题,考查运算能力 ‎21．设函数是定义在上的奇函数，当时，‎ ‎（1）确定实数的值及函数在上的解析式；‎ ‎（2）求函数的零点 ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）由奇函数的定义可得当时,,即可解得；设,则,将代入中,整理可得,进而得到解析式.‎ ‎（2）先求当时,令,求得零点,再根据奇函数的性质解得时的零点即可 ‎【详解】‎ ‎（1）是定义在上的奇函数,‎ 当时,‎ ‎,‎ 当时,‎ 设,则,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎（2）当时,，‎ 令,得 即,‎ 解得或,‎ 是定义在上的奇函数 所以当时的根为：‎ 所以方程的根为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用奇偶性求值,利用奇偶性求解析式,考查求零点,考查运算能力 ‎22．设是定义在上的函数，满足，当时，．‎ ‎（）求的值，试证明是偶函数．‎ ‎（）证明在上单调递减．‎ ‎（）若，，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；证明见解析.‎ ‎(2) 证明见解析.‎ ‎(3) .‎ ‎【解析】分析：（1）先求得，再求得，令，则，从而可得结论；（2）设，，，，∵，则，即，从而可得结果；(3)求得，‎ 可得，化为，从而可得结果.‎ 详解：（）∵‎ 令得 ‎∴．‎ 令，，，，‎ 令，则．‎ 即是定义在上的偶函数．‎ ‎（）∵，‎ ‎∴，‎ 设，，，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ 则，‎ 即，‎ 即在上单调递减．‎ ‎（）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵为偶函数，且在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 综上，的取值范围为．‎ 点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.‎