数学（文）卷·2017届新疆哈密地区二中高三上学期第三次月考（2016

数学（文）卷·2017届新疆哈密地区二中高三上学期第三次月考（2016

‎2016-2017学年第一学期高三（17届）文科数学第三次月考试卷 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|logx4=2}，则A∪B=（　　）‎ A．{﹣2，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，2} D．{2}‎ ‎2．（5分）复数z•（1+i）=|1+|，则z=（　　）‎ A．2﹣2i B． 1+i C．2+2i D．1﹣i ‎ ‎3．（5分）“a＜1”是“lna＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 ‎4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（　　）‎ A．﹣ B．0 C．3 D．‎ ‎5．（5分）已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R，则函数f（x）的单调递增区间是（　　）‎ A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z C．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z ‎7．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是（　　）‎ A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）‎ ‎9．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（　　）‎ A．17 B．16 C．15 D．13‎ ‎10．（5分）一弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第n次着地时，共经过了Sn，则当n≥2时，有（　　）‎ A．Sn的最小值为100 B．Sn的最大值为400 C．Sn＜500 D．Sn≤500‎ ‎11．（5分）设F1，F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，的值为（　　）‎ A．2 B．6 C． 4 D．3 ‎ ‎12．（5分）若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．不确定 ‎　‎ 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）‎ ‎13．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长都相等，半径为2的球O过三棱锥P﹣ABC的四个顶点，则PA=　　．‎ ‎14．（5分）函数（ω＞0）部分图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．则ω=　　．‎ ‎15．（5分）直线y=x+2被圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为　　．‎ ‎16．（5分）已知f（x）=x+xlnx，若k∈z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．‎ ‎（I）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎19．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；‎ ‎（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0‎ ‎（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经过原点，求直线l的方程．‎ ‎[来源]‎ ‎21．（12分）已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．‎ ‎（Ⅰ）若直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（Ⅱ）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年第一学期高三（17届）文科数学第三次月考试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）‎ ‎1、B 2、D 3、B 4、C 5、B 6、A 7、C 8、A 9、A 10、C 11、D 12、B 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）‎ ‎13．2或2 14． 15． 16．4　‎ 三．解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．‎ ‎（I）求a的值；（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．‎ 解：（I）∵3sinAcosB+bsin2A=3sinC，∴3sinAcosB+bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，‎ ‎∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理可得==，∴b=2sinB，c=2sinC ‎∴△ABC周长=3+2（sinB+sinC）=3+2[sin（﹣C）+sinC]=3+2sin（+C）‎ ‎∵0＜C＜，∴＜+C＜，∴＜sin（+C）≤1，∴△ABC周长的最大值为3+2．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ 解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，‎ ‎∴a3=5，a5=9，公差．∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．（3分）‎ 又当n=1时，有∴当，∴．∴数列{bn}是首项，公比等比数列，‎ ‎∴．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则（1）∴=（2）（10分）‎ ‎（1）﹣（2）得：=‎ 化简得：（12分）　‎ ‎19．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．‎ 解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，‎ ‎∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（4分）‎ ‎（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）‎ ‎（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，（12分）‎ ‎∴（14分）‎ ‎20．（12分）（2012•许昌县一模）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0‎ ‎（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经过原点，求直线l的方程．‎ 解：（Ⅰ）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1）∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b∵=0，∴有a（x﹣a）+y=0∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0即C的方程是y=2x2；（Ⅱ）设Q（m，2m2），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=﹣‎ ‎∴直线l的方程为y﹣2m2=﹣（x﹣m）与y=2x2联立，消去y可得2x2+x﹣2m2﹣=0，该方程必有两根m与xR，且mxR=﹣m2﹣∴（2m2）yR=4（﹣m2﹣）2‎ ‎∵，∴mxR+（2m2）yR=0，∴﹣m2﹣+4（﹣m2﹣）2=0，∴m=±‎ ‎∴直线l的方程为．‎ ‎21．（12分）（2015秋•杭锦后旗校级月考）已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．‎ ‎（Ⅰ）若直线PA平分线段MN，求k的值；（Ⅱ）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．‎ 解：（I）在直线x﹣y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，由题意得c=b=1，∴a2=2，则椭圆方程为+y2=1．M（﹣，0），N（0，﹣1），线段MN的中点坐标为，∴k=．（II）将直线PA方程y=kx代入椭圆方程，解得：x=±，令=m，则P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直线AB方程为y=（x﹣m）=（x﹣m），代入椭圆方程得（k2+2）x2﹣2k2mx+k2m2﹣8=0，由xB+xA=‎ ‎，因此B．∴=（2m，2mk），=．∴=﹣=0，∴，因此PA⊥PB．　‎ ‎22．（12分）（2016春•哈密市期末）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，‎ 即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；‎ 由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；‎ 在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；‎ 由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；‎ 在（ln（﹣2a），1）递减；‎ ‎（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增， 且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）ex，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．‎ ‎　‎