数学（文）卷·2017届湖南省郴州市高三第四次质量检测（2017

数学（文）卷·2017届湖南省郴州市高三第四次质量检测（2017

郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷 数学文科 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，若，则的值可以是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎2.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）‎ ‎4.已知向量，，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知，且（），则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（ ）‎ A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 ‎ ‎7.已知双曲线：（，）过点，过点的直线与双曲线的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.若为奇函数，且是的一个零点，则下列函数中，一定是其零点的函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间（）上的值域为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成（平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）‎ A．与平面垂直的直线必与直线垂直 ‎ B．过作，平面，则为定值 C．一定存在某个位置，使 D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为 ．‎ ‎14.已知实数，满足条件则的最小值为 ．‎ ‎15.在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，则 ．‎ ‎16.若函数（）在区间只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知等差数列的前（）项和为，，且，在等比数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列及的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前（）项和为，且，求．‎ ‎18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求图中的值；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如表所示，求数学成绩在之外的人数．‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，‎ ‎，，，，点在上，且．‎ ‎（Ⅰ）已知点在上，且，求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若的面积是梯形面积的，求点到平面的距离．‎ ‎20.已知是抛物线上的一点，以点和点为直径的圆交直线于，两点，直线与平行，且直线交抛物线于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程．‎ ‎21.已知函数（）与函数有公共切线．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，‎ ‎）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求的值．‎ 郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷数学文科答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）∵，，∴，且，‎ ‎∴，，①‎ ‎∵数列是等差数列，∴，即，②‎ 由①②得，，∴，，‎ ‎∴，，则．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18.解：（Ⅰ）由题意得，解得．‎ ‎（Ⅱ）由．　‎ ‎（Ⅲ）由频率分布表可知，‎ 数学成绩在的人数为：．‎ 于是，数学成绩在之外的人数为：．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：∵，，∴，‎ ‎∵底面是直角梯形，，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，则，‎ ‎∴，‎ ‎∵底面，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）解：∵底面，且，∴，‎ 取的中点为，连接，则，‎ 设，连接，则，‎ ‎∵侧面的面积是底面的倍，‎ ‎∴，即，求得，‎ ‎∵，∴到平面的距离即时到平面的距离，‎ ‎∵，，‎ ‎∴到平面的距离为．‎ ‎20.解：（Ⅰ）设，圆方程为，‎ 令，得，∴，，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，则 由消去，得，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，则，‎ ‎∴，解得或，‎ 当或时，当到直线的距离，‎ ‎∵圆心到直线的距离等于直线的距离，∴，‎ 又，消去得，求得，‎ 此时，，直线的方程为，‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎21. 解：（Ⅰ），．‎ ‎∵函数与有公共切线，∴函数与的图象相切或无交点．‎ 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则，‎ 解得或（舍去），‎ 则，得，‎ 数形结合，得，即的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）等价于在上恒成立，‎ 令，‎ 因为，令，得，‎ 极小值 所以的最小值为，‎ 令，因为，‎ 令，得，且 极大值 所以当时，的最小值，‎ 当时，的最小值为，‎ 所以．‎ 综上得的取值范围为．‎ ‎22.解：（Ⅰ）由，得，‎ 化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，‎ 依题意，设，则 到直线的距离．‎ 当，即，时，．　‎ 故点到直线的距离的最小值为．‎ ‎（Ⅱ）∵曲线上的所有点均在直线的右下方，‎ ‎∴，有恒成立，‎ 即（其中）恒成立，‎ ‎∴，又，解得，‎ 故的取值范围为．‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时，取最大值为，‎ ‎∵，当且仅当，取最小值4，‎ ‎∵关于的不等式有解，‎ ‎∴，即实数的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 则，解得，‎ ‎∴当时，，‎ 令，得，‎ ‎∴，则． ‎