2020届广西壮族自治区南宁市高三上学期10月月考数学（理）试题（解析版）

2020届广西壮族自治区南宁市高三上学期10月月考数学（理）试题（解析版）

‎2020届广西壮族自治区南宁市高三上学期10月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　）‎ A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎【答案】D ‎【解析】解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.‎ ‎【详解】‎ 因为集合 ‎，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．若复数z满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简得再求得解.‎ ‎【详解】‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）‎ A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 ‎【答案】A ‎【解析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.‎ 本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，‎ 根据方差公式可知方差不变.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4．若的展开式中的系数为150，则（ ）‎ A．20 B．15 C．10 D．25‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过二项式展开式的通项分析得到，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，‎ 故当时，，‎ 于是有，‎ 则.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）‎ A．9 B．27 C．81 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为q.‎ 由，得，解得或.‎ 因为.且数列递增，所以.‎ 又，解得，‎ 故.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）‎ A．2 B．3 C．-2 D．-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 所以，‎ 又也在直线上，‎ 所以，‎ 解得 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7．函数的部分图象大致为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求得函数的定义域，然后判断出函数为奇函数，再用特殊值确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 首先函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，，故A正确 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，属于基础题.‎ ‎8．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设.则.‎ 故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟程序框图运行分析即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎；.‎ 所以①处应填写“”‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，‎ 设，得，求出的值，即得解.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线C的左焦点为，连接，‎ 由对称性可知四边形是平行四边形，‎ 所以，.‎ 设，则，‎ 又.故，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11．已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得函数的定义域为.‎ 因为，‎ 所以为上的偶函数，‎ 因为函数都是在上单调递减.‎ 所以函数在上单调递减.‎ 因为，‎ 所以，且，‎ 解得.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：‎ ‎①在上单调递增；‎ ‎②‎ ‎③在上没有零点；‎ ‎④在上只有一个零点.‎ 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.‎ ‎【详解】‎ 因为函数在区间内没有最值.‎ 所以，或 解得或.‎ 又，所以.‎ 令.可得.且在上单调递减.‎ 当时，，且，‎ 所以在上只有一个零点.‎ 所以正确结论的编号②④ ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题 ‎13．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，则.‎ 解得，所以，‎ 向量与的夹角为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14．设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】将已知已知转化为的形式，化简后求得，利用等差数列前公式化简，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15．已知分别是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，求出，，在中.. 在中，，得即得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设，则 ，‎ 由，‎ 得.‎ 在中..‎ 在中，，得 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质，考查余弦定理解三角形和椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的 得解.‎ ‎【详解】‎ 如图，连接， ‎ 因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，‎ 所以，平面，‎ 则平面.因为，‎ 所以同理得平面，又.‎ 所以平面平面EFG.‎ 因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.‎ 在中，，‎ 故当时.线段的长度最小，最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题 ‎17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.‎ ‎（1）求样本平均数的大小；‎ ‎（2）若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.‎ ‎【答案】（1）66.5 （2）属于 ‎【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数公式求解；（2）求出，即可判断得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ 所以该零件属于“不合格”的零件 ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18．如图，在三棱柱中， 平面ABC.‎ ‎（1）证明：平面平面 ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）证明平面即平面平面得证；（2）分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为平面ABC，所以 ‎ 因为.所以.即 ‎ 又.所以平面 ‎ 因为平面.所以平面平面 ‎ ‎（2）解：由题可得两两垂直，所以分别以所在直线为x轴，‎ y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，所以 ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由.得 令，得 ‎ 又平面，所以平面的一个法向量为. ‎ ‎ ‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19．分别为的内角的对边.已知.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；‎ ‎（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，‎ 结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，‎ 即.‎ 因为，所以.‎ 由，得.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 因为的面积.‎ 所以当时，的面积取得最大值，‎ 此时，则，‎ 所以的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）先求导，再对m分类讨论，求出的单调性；（2）对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 若，当时，；‎ 当时.，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减 若.在R上单调递增 ‎ 若，当时，；‎ 当时.，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减 ‎ ‎（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则.则不合题意 ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ 则，即 ‎ 又因为单调递增，且，故 ‎ 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21．如图,已知抛物线E:y2=4x与圆M:(x3)2+y2=r2(r>0)相交于A,B,C,D四个点.‎ ‎(1)求r的取值范围;‎ ‎(2)设四边形ABCD的面积为S,当S最大时,求直线AD与直线BC的交点P的坐标.‎ ‎【答案】(1) r∈(2,3). (2) (,0).‎ ‎【解析】(1)联立抛物线与圆的方程，利用判别式与韦达定理列不等式组，从而可得结果；(2)根据S=(+)·(x2x1)=(4+4)(x2x1)，利用韦达定理将S表示为关于r的函数，换元后利用导数可求当S最大时直线AD与直线BC的交点P的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)联立抛物线与圆的方程 消去y,得x22x+9r2=0.‎ 由题意可知x22x+9r2=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根,‎ 所以解得2

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