数学理卷·2018届福建省永安一中、德化一中、漳平一中高三上学期第二次联考（2017

数学理卷·2018届福建省永安一中、德化一中、漳平一中高三上学期第二次联考（2017

‎“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 ‎2017—2018学年第一学期第二次月考 高三数学（理科）试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1.已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） ‎ A． B． C． D.‎ ‎2.已知集合,，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知命题；命题在中，若，则．则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．某几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．若等差数列的前项和为，则，类似地正项等比数列的前项积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．设等差数列满足，公差，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知平面α⊥平面β，直线m，n均不在平面α、β内，且m//n，则（ ）‎ A. 若m⊥β，则n//α B. 若n//β，则m⊥α C. 若m//β，则n//α D. 若n⊥β，则m⊥α ‎8.把函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则（ ）‎ A. 的图象的一条对称轴是，一个对称中心是 B. 的图象的一条对称轴是，一个对称中心是 C. 的图象的一条对称轴是，一个对称中心是 ‎ D.的图象的一条对称轴是，一个对称中心是 ‎ ‎9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知圆：，四边形为圆的内接正方形，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是（ ）‎ A. B. 　　 C. D. ‎ ‎11.已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，，点在线段上，且 ,过作球的截面，则所得截面圆面积最小值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数，若对任意的在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（每小题5分，本题共20分）‎ ‎13．__________.‎ ‎14.已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足， 的最小值为__________.‎ ‎15．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则函数在点处的切线方程是__________.‎ ‎16．已知数列满足，其中，若对恒成立，则实数的取值范围为__________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题12分）如图，在△ABC中，AB=2，，点D在线段BC上．‎ ‎（1）若∠ADC=，求AD的长；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，且,求的值.‎ ‎18.（本小题12分）某电视台举行知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题者比赛结束，直接进入决赛，否则要答完5道题．已知选手甲答题的正确率为．‎ ‎（1）求选手甲可进入决赛的概率；‎ ‎（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求ξ的数学期望．‎ ‎19.（本小题12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，‎ 侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，‎ AD＝2.‎ ‎（1）求证：平面AEC⊥平面PCD；‎ ‎（2）若二面角A－PC－E的平面角大小θ满足，求四棱锥P－ABCD的体积． ‎ ‎20．（本小题12分）正项数列的前项和满足且.‎ ‎（1）求；（2）若，求证：数列的前项和.‎ ‎21.（本小题12分）已知函数在点处的切线为 ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若，且存在，使得成立，求的最小值．‎ 请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与直线l的参数方程；‎ ‎（2）若曲线经过变换后得到曲线，且直线l与曲线交于两点，求的取值范围．‎ ‎23．选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若时，对任意的恒成立，求的取值范围.‎ ‎2017—2018学年第一学期第二次月考 高三数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A B C A A C D B D 二、填空题（每小题5分，本题共20分）‎ ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题12分）‎ 解：（1）,………………2分 由正弦定理………………………………………………………………3分 即,…………………………………………5分 ‎（2）,即,‎ ‎……………………………………………………………………………………7分 根据余弦定理 ‎,‎ ‎………………………………………………………………………………9分 ‎…………………………11分 又………………………………………………12分 ‎18.（本小题12分）‎ 解：(1)甲答3道题进入决赛的概率：…………………………………………1分 甲答4道题进入决赛的概率：…………………………………3分 甲答5道题进入决赛的概率：……………………………5分 甲进入决赛的概率：……………………………………6分 ‎（2）的可能值为3,4,5……………………………………………………………7分 P(＝3)＝…………………………………………………………………8分 P(＝4)＝……………………………………………………9分 P(＝5)＝1－P(＝3)－P(＝4)＝……………………………………10分 ‎（或P(＝5)＝）‎ 的分布列：‎ 分 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎………………………11分 ‎ E＝‎ ‎＝………………………………………………………………………………12分 ‎19.（本小题12分）‎ 解：(1)取中点为，中点为，‎ 由侧面为正三角形，且平面⊥平面，知⊥平面，故⊥，‎ 又⊥，则⊥平面，所以⊥，‎ 又∥，则⊥，又是中点，则⊥，‎ 由线面垂直的判定定理知⊥平面，‎ 又⊂平面，故平面⊥平面.……………………………………………5分 ‎(2)如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 令，则，．‎ 由(1)知＝为平面PCE的法向量，……………6分 令为平面PAC的法向量，‎ 由于均与n垂直，‎ 故即解得 故，………………………………………………8分 由，解得.………………………………10分 故四棱锥P－ABCD的体积V＝SABCD·PO＝·2·3·＝.…………………………12分 ‎20．（本小题12分）‎ 解：（1）由 ‎∴数列是以为首项，以１为公差的等差数列.…………………………………2分 ‎.‎ 又因为为正项数列，‎ ‎∴.……………………………………………………………………………………4分 ‎，‎ 又也符合上式，‎ ‎；………………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）得.…………………………7分 ‎…………………………………………………………8分 ‎……………12分 ‎21.（本小题12分）‎ 解：（1）的定义域为,‎ ‎…………………………………………………………………………1分 ‎∴‎ ‎∴ ……………………………………………………………………………………3分 ‎ ‎∴．‎ 由得函数的单调递减区间为 （或也可以）…5分 ‎（2）可化为 令,使得,‎ 则．………………………………………………………………………………6分 ‎,‎ 令 则 ‎∴在上为增函数．………………………………………………………………7分 又 故存在唯一的使得……………………………………………………8分 即 当时，‎ ‎∴∴在上为减函数；………………………………………………9分 当时，‎ ‎∴∴在上为增函数．……………………………………………10分 ‎∴‎ ‎…………………………………………………………………………………………………11分∴‎ ‎∵‎ ‎∵∴的最小值为．………………………………………………………………12分 ‎22.（本题满分10分）‎ ‎ 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，‎ ‎∴，…………………………………………………………1分 ‎∴曲线C的直角坐标方程为，整理，得……3分 ‎∵直线l过点，倾斜角为， ∴直线l的参数方程为.…………………………………………5分 ‎（2）∵曲线C经过变换后得到曲线C′，‎ ‎∴曲线C′为：……………………………………………………………………6分 把直线l的参数方程，代入曲线C′：‎ 得：，…………………………………………7分 设A，B对应的参数分别为，则，………………………………8分 ‎∴……………………………………………………………9分 又直线l与曲线交于两点.‎ ‎…………………………………………………………………………10分 ‎23．（本题满分10分）‎ 解: （1）当时， .‎ 当时， ；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 即 又因为在上单调递减，‎ 在上单调递减，在上单调递增，如图所示.‎ 所以当时，有最小值3. …………………………………………………………5分 ‎（2）因为，所以，则 ‎，…………………………………………………7分 可得对任意恒成立，即，‎ 解得.‎ 故的取值范围为.…………………………………………………………………10分