2018届二轮复习重应用——函数的实际应用课件（江苏专用）

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专题 3 　函数与导数 第 10 练　 重 应用 —— 函数的 实 　 　　　 际 应用 函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 1.(2015· 四川 ) 某食品的保鲜时间 y ( 单位：小时 ) 与储藏温度 x ( 单位： ℃ ) 满足函数关系 y ＝ e kx ＋ b (e ＝ 2.718 … 为自然对数的底数， k ， b 为常数 ). 若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是 ________ 小时 . ∴ x ＝ 33 时， y ＝ e 33 k ＋ b ＝ (e 11 k ) 3 ·e b 24 1 2 3 解析答案 2.(2015· 上海 ) 如图， A ， B ， C 三地有直道相通， AB ＝ 5 千米， AC ＝ 3 千米， BC ＝ 4 千米 . 现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f ( t )( 单位：千米 ). 甲的路线是 AB ，速度为 5 千米 / 小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米 / 小时 . 乙到达 B 地后原地等待 . 设 t ＝ t 1 时乙到达 C 地 . (1) 求 t 1 与 f ( t 1 ) 的值 ； 在 △ ACD 中， CD 2 ＝ AC 2 ＋ AD 2 － 2 AC · AD cos A ， 1 2 3 解析答案 (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米，当 t 1 ≤ t ≤ 1 时，求 f ( t ) 的表达式，并判断 f ( t ) 在 [ t 1, 1] 上的最大值是否超过 3 ？说明理由 . 1 2 3 解析答案 1 2 3 1 2 3 解析答案 3.(2015· 江苏 ) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连结两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l 1 ， l 2 ，山区边界曲线为 C ，计划修建的公路为 l . 如图所示， M ， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1 ， l 2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l 1 ， l 2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米 . 以 l 2 ， l 1 所在的直线分别为 x ， y 轴，建立平面 直角坐标 系 xOy ，假设曲线 C 符合函数 y ＝ ( 其中 a ， b 为 常 数 ) 模型 . (1) 求 a ， b 的值 ； 1 2 3 解　 由题意知，点 M ， N 的坐标分别为 (5,40) ， ( 20,2.5). 1 2 3 解析答案 (2) 设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t . ① 请写出公路 l 长度的函数解析式 f ( t ) ，并写出其定义域； 1 2 3 解析答案 设在点 P 处的切线 l 分别交 x ， y 轴于 A ， B 两点， 1 2 3 1 2 3 解析答案 ② 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度 . 返回 高考 必会题型 题型一　基本函数模型的应用 例 1 　某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿千瓦时 . 本年度计划将电价调至 0.55 元～ 0.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y ( 亿千瓦时 ) 与 ( x － 0.4)( 元 ) 成反比 . 又当 x ＝ 0.65 时， y ＝ 0.8. (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； 解析答案 解　 ∵ y 与 ( x － 0.4) 成反比， 把 x ＝ 0.65 ， y ＝ 0.8 代入上式， 解析答案 (2) 若每千瓦时电的成本价为 0.3 元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20% ？ [ 收益＝用电量 × ( 实际电价－成本价 )] ＝ 1 × (0.8 － 0.3) × (1 ＋ 20%). 整理，得 x 2 － 1.1 x ＋ 0.3 ＝ 0 ，解得 x 1 ＝ 0.5 ， x 2 ＝ 0.6. 经检验 x 1 ＝ 0.5 ， x 2 ＝ 0.6 都是所列方程的根 . ∵ x 的取值范围是 0.55 ～ 0.75 ， 故 x ＝ 0.5 不符合题意，应舍去 . ∴ x ＝ 0.6. ∴ 当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%. 点评 点评 解决实际应用问题的关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学 “ 元素 ” ，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下： 变式训练 1 　 (1)(2015· 北京改编 ) 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 . 加油时间 加油 量 ( 升 ) 加油时的累计 里程 ( 千米 ) 2015 年 5 月 1 日 12 35 000 2015 年 5 月 15 日 48 35 600 注： “ 累计里程 ” 指汽车从出厂开始累计行驶的路程 . 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 ______ 升 . 解析 答案 8 解析　 由表知，汽车行驶路程为 35 600 － 35 000 ＝ 600 千米，耗油量为 48 升 ， ∴ 每 100 千米耗油量为 8 升 . (2)2015 年 “ 五一 ” 期间某商人购进一批家电，每台进价已按原价 a 扣去 20% ，他希望对货物定一新价，以便每台按新价让利 25% 销售后，仍可获得售价 20% 的纯利，则此商人经营这种家电的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式是 ______________. 解析 答案 解析　 设每台新价为 b ，则售价 b (1 － 25%) ， 让利 b × 25% ，由于原价为 a ，则进价为 a (1 － 20%) ， 题型二　分段函数模型的应用 (1) 写出年利润 W ( 万美元 ) 关于年产量 x ( 万部 ) 的函数解析式； 解析答案 解　 当 0< x ≤ 40 时， W ＝ xR ( x ) － (16 x ＋ 40) ＝－ 6 x 2 ＋ 384 x － 40 ； 点评 (2) 当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 . 解析答案 解　 ① 当 0< x ≤ 40 时， W ＝－ 6( x － 32) 2 ＋ 6 104 ， 所以 W max ＝ W (32) ＝ 6 104 ； 所以此时 W 有最大值 5 760 . 因为 6 104 ＞ 5 760 ， 所以当 x ＝ 32 时， W 取得最大值 6 104 万元 . 函数有关应用题的常见类型及解题关键 (1) 常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、 路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题 . (2) 解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答 . 点评 ` 解析答案 变式训练 2 　 某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km( 不超过 3 km 按起步价付费 ) ；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元 . 现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了 ________ km. 解析　 设出租车行驶 x km 时，付费 y 元， 由 y ＝ 22.6 ，解得 x ＝ 9. 9 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 设圆锥形容器的底面半径是 r ，高为 h ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. 如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9% 的水平，那么达到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的年份至少是 _______ 年 .(lg 2 ＝ 0.301 0 ， lg 3 ＝ 0.477 1 ， lg 109 ＝ 2.037 4 ， lg 0.09 ＝－ 2.954 3) 解析　 设 1995 年生产总值为 a ，经过 x 年翻两番， 2012 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3. 用长度为 24 的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 ________. 当 x ＝ 3 时， S 有最大值 18. 所以隔墙的长度应为 3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 4. 某汽车销售公司在 A ， B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润 ( 单位：万元 ) 为 y 1 ＝ 4.1 x － 0.1 x 2 ，在 B 地的销售利润 ( 单位：万元 ) 为 y 2 ＝ 2 x ，其中 x 为销售量 ( 单位：辆 ) ，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 ________ 万元 . 解析　 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆， 则在 B 地销售该品牌的汽车 (16 － x ) 辆， 所以可得利润 y ＝ 4.1 x － 0.1 x 2 ＋ 2(16 － x ) ＝－ 0.1 x 2 ＋ 2.1 x ＋ 32 因为 x ∈ [0,16] 且 x ∈ N ， 所以当 x ＝ 10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元 . 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 5. 正方形铁片的边长为 8 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角 为 　 的 扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于 ________ cm 3 . 即围成圆锥形容器的底面周长为 2π ， 所以 圆锥底面半径为 r ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为 40 cm 、 60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是 ______cm 2 . 解析　 设直角边为 40 cm 和 60 cm 上的矩形边长分别为 x cm 、 y cm ， 当 x ＝ 20 时矩形的面积最大，此时 S ＝ 600. 600 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 7. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y ( 单位：万元 ) 与机器运转时间 x ( 单位：年 ) 的关系为 y ＝ － x 2 ＋ 18 x － 25( x ∈ N * ) ，则当每台机器运转 ________ 年时，年平均利润最大，最大值是 ________ 万元 . 当且仅当 x ＝ 5 时，年平均利润最大，最大值为 8 万元 . 5 　 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 8. 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25 % 的 速度减少 . 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/ mL. 那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过 ________ 小时才能开车 .( 精确到 1 小时 ) 解析　 设至少经过 x 小时才能开车， 由题意得 0.3(1 － 25%) x ≤ 0.09 ， ∴ 至少经过 5 个小时才能开车 . 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 9. 商家通常依据 “ 乐观系数准则 ” 确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a ，最高销售限价 b ( b > a ) 以及实数 x (0< x <1) 确定实际销售价格 c ＝ a ＋ x ( b － a ). 这里， x 被称为乐观系数 . 经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得 ( c － a ) 是 ( b － c ) 和 ( b － a ) 的等比中项 . 据此可得，最佳乐观系数 x 的 值 等于 ________. ∵ b － c ＝ ( b － a ) － ( c － a ) ， ∴ ( c － a ) 2 ＝ ( b － a ) 2 － ( b － a )( c － a ) ， 又 b － a ≠ 0 ，两边 同除以 ( b － a ) 2 ，得 x 2 ＋ x － 1 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 某公司生产的商品 A 每件售价为 5 元时，年销售 10 万件 . (1) 据市场调查，若价格每提高 1 元，销量相应减少 1 万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？ 解析答案 解　 设商品的销售价格提高 a 元 ， 则 (10 － a )(5 ＋ a ) ≥ 50 ，即 0 ≤ a ≤ 5 ， 所以 商品的价格最多可以提高 5 元 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 由题意知改革后的销售收入为 mx 万元 ， 若 改革后的销售收入等于原销售收入与总投入总和， 当且仅当 x ＝ 10 时等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 11. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛 ( 如图所示 ) ，该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米 . 设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为 θ ( 弧度 ). (1) 求 θ 关于 x 的函数关系式； 解　 设扇环的圆心角为 θ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 已知在花坛的边缘 ( 实线部分 ) 进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元 / 米，弧线部分的装饰费用为 9 元 / 米 . 设花坛的面积与装饰总费用的比为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 为何值时， y 取得最大值？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 花坛的面积 为 θ (10 2 － x 2 ) ＝ (5 ＋ x )(10 － x ) ＝－ x 2 ＋ 5 x ＋ 50(0 ＜ x ＜ 10) ， 装饰总费用为 9 θ (10 ＋ x ) ＋ 8(10 － x ) ＝ 170 ＋ 10 x ， 综上，当 x ＝ 1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 在扶贫活动中，为了尽快脱贫 ( 无债务 ) 致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后，逐步偿还转让费 ( 不计息 ). 在甲提供的资料中： ① 这种消费品的进价为每件 14 元； ② 该店月销量 Q ( 百件 ) 与销售价格 P ( 元 ) 的关系如图所示； ③ 每月需各种开支 2 000 元 . (1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解　 设该店月利润余额为 L ， 则由题设得 L ＝ Q ( P － 14) × 100 － 3 600 － 2 000 ， ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) 当 14 ≤ P ≤ 20 时， L max ＝ 450 元，此时 P ＝ 19.5 元； 故当 P ＝ 19.5 元时，月利润余额最大，为 450 元 . 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解　 设 可在 n 年后脱贫， 依题意有 12 n × 450 － 50 000 － 58 000 ≥ 0 ，解得 n ≥ 20 ， 即最早可望在 20 年后脱贫 .