2017-2018学年河北省定州中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2017-2018学年河北省定州中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

河北省定州中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题 评卷人 得分 一、选择题 ‎1．若关于方程的一个实根小于-1，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：令,由题设,即,解之得,故应选D.‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质的运用.‎ ‎2．直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示：过点D作,翻折过程中，当时，三棱锥体积最大，‎ 此时， 又，所以，所以.， ，所以.‎ 所以.‎ 此时， ‎ ‎.‎ 表面积为.‎ 故选D.‎ 点睛：解本题的关键是明确何时体积最大，从空间角度，我们可以想象抬的“越高”体积越大，借助于辅助线DO即可说明.‎ ‎3．已知定义域为R的函数 f （x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣2f （x）＞4，若 f （0）=﹣1，则不等式f（x）+2＞e2x的解集为（　　）‎ A. （0，+∞） B. （﹣1，+∞） C. （﹣∞，0） D. （﹣∞，﹣1）‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则， ，即函数在定义域上单调递增， ， 不等式等价为不等式等价为，解得，故不等式的解集为，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ 本题通过观察四个选项，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.‎ ‎4．设函数在上存在导数， ，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令 ,则,所以 为上单调递减奇函数, ‎ 选B.‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等 ‎5．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， ，求的外接球的表面积，选C ‎【点睛】‎ 求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。充分体现补形转化思想。‎ ‎6．已知是球的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知 =， ，选D.‎ ‎【点睛】‎ 对于外接球或内嵌体问题，最重要的是画出立体图形，对于复杂的还需要做出截面。‎ ‎7．已知函数的两个零点满足，集合，则（ ）‎ A. ∀m∈A，都有f(m＋3)>0 B. ∀m∈A，都有f(m＋3)<0 C. ∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0 D. ∃m0∈A，使得f(m0＋3)<0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得的解集为且，设，由， ， 所以f(m＋3)>0，选A.‎ ‎【点睛】‎ 一元二次不等式解集的分界点即是所对应一元二次函数所对应零点，结合一元二次函数图像是本题解题的关键点。‎ ‎8．已知是实数，关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，问题转化为方程有四个不同实数根，即函数的图像有四个不同交点，不妨设（）不合题意，则方程有两个不等实数根，故，即，所以，即，应选答案A。‎ ‎9．已知若存在互不相同的四个实数0＜a＜b＜c＜d满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则ab＋c＋2d的取值范围是（）‎ A. （， ） B. （，15）‎ C. [，15] D. （，15）‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数 由f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）在（0,2‎ ‎）上有a ,b且=,在上有c,d且,由二次函数的性质知对称轴为x=4， ,且d∈(4+)‎ ‎∴ab＋c＋2d（，15）故选：D 点睛：抓住对数函数的特征，根据对数运算性质很容易得，再利用二次函数性质可得c+d=8，所求的ab＋c＋2d可以先算ab＋c＋d=9，再细衡量d的范围，结合选项检验即得解.‎ ‎10．如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若（），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（　　）‎ A. [， ] B. [， ] C. [， ] D. [， ]‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知,，设OP与AB交于点C,所以， ， ， ， ， =‎ 当， ==最小值，当时==，所以选C.‎ ‎11．已知，且满足，那么的最小值为（　　）‎ A. 3﹣ B. 3+2 C. 3+ D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得（2y-1）(x-1)=1,变形为,所以，所以,当且仅当 时，等号成立，即，选B.‎ ‎【点睛】‎ 求用均值不等式求和的最小值，需要构造一个积为定值的式子，所以本题把原式变形为，正好可以用均值不等式，注意等号成立条件。‎ ‎12．锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. （6，7]‎ ‎【答案】C ‎【解析】不妨设，等差数列公差为， ，代入，得，可得，又由锐角三角形可知，最大角A为锐角即可， ，得， ， 所以，选C.‎ ‎【点睛】‎ 由于求b的范围，所以设公差,消去留下b,减少变量的个数，方便后面求范围，所以对于多个变量，常用的处理方法是尽量减少变量的个数。‎ 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若函数满足且；函数，则的零点有_____个 ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 画出函数与函数在区间上图像如图，结合图像可以看出：两个函数的图像有八个交点，即函数的有八个零点，应填答案8。‎ ‎14．已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点， 为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ，直线的方程为 代入抛物线方程可得 ‎ 可得 ‎ 联立可得 ‎ 故答案为．‎ 点睛：本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎15．已知等腰中， ， 分别为的中点，沿将 折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得四点共圆，设圆心为O，则半径为， O到直线DE距离为 ‎ 因为 ,所以O为外接球的球心，半径为，因此外接球的表面积为 ‎ ‎16．若关于的不等式的解集恰好为[]，那么=_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意画出， 的图像，可知解集，又解集为[]，所以小于或等于函数的最小值1，即， 满足 且 当时， 解得或，不满足，不符。‎ 当时， ，解得符合，所以。‎ ‎【点睛】‎ 学习解一元二次不等式时，我们是结合二次函数的图象得到不等式的解集，所以对于复杂的一元二次不等式组，也可以考虑用数形结合思想。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）当时，若，求函数在的最大值；‎ ‎（2）若在恒成立（其中为自然对数的底数），求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）当时， 的最大值为；当时， 的最大值为（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先求函数的导数，借助导数知识及分类整合思想求其最大值；（2）先将参数从不等式中分离出来，再构造函数，运用导数知识分析求解函数的最小值即可：‎ 解：（1）当时， ‎ 由得；由得，‎ 在递增，在递减 所以，当时， 的最大值为 当时， 的最大值为 ‎（2） 在恒成立 ‎ 在恒成立 设 则 当时， ，且 当时， ‎ 设，则在递增 又 使得 时， 时， ‎ 时， 时， ‎ 函数在递增，在递减，在递增 由知，所以 又 又当时， ‎ ‎，即的取值范围是.‎ ‎18．设，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点.‎ ‎（1）确定的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间与极值. ‎ ‎【答案】（1）；（2）在上为增函数，在为减函数．极大值，极小值．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率等于，而由两点斜率公式得切线斜率，因此，故（2）先确定导函数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，并由此确定单调区间及对应极值 试题解析：（1）因，故，‎ 令，得， ，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上可得，故；‎ ‎（2）由（1）知， ， ，‎ 令，解得．‎ 当或时， ，故在上为增函数；当时， ，故在上为减函数．‎ 由此可知， 在处取得极大值，在处取得极小值．‎ ‎【考点】导数几何意义，利用导数求函数单调区间及极值 ‎【方法点睛】在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应设出切点的坐标P(x0，y0)，利用该点在曲线上及该点处导数值等于切线斜率联立方程组，求出切点的坐标，再利用点斜式写出切线方程