【推荐】试题君之课时同步君2016-2017学年高二数学人教A版选修2-2（第2-3 数学归纳法）

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绝密★启用前 ‎2.3数学归纳法 一、选择题 ‎1.【题文】用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*)，验证n=1时，左边应取的项是(　　)‎ A.1 B.1+2‎ C.1+2+3 D.1+2+3+4‎ ‎2．【题文】用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)‎ A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)‎ ‎3．【题文】用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开 ( )‎ A．(k＋3)3 B．(k＋2)3‎ C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3‎ ‎4.【题文】某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得(　　)‎ A.当时命题不成立 B.当时命题不成立 C.当时命题成立 D.当n=6时命题成立【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎5．【题文】用数学归纳法证明 时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．【题文】数学归纳法证明成立时，从到左边需增加的乘积因式是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．【题文】用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由 到时，不等式的左边（）‎ A．增加了一项 B．增加了两项 C．增加了一项,又减少了一项 D．增加了两项,又减少了一项 ‎8．【题文】用数学归纳法证明“”时，由 的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）‎ A．B．‎ C．D．‎ 二、填空题 ‎9.【题文】用数学归纳法证明.假设时，不等式成 立，则当时，应推证的目标不等式是 .‎ ‎10.【题文】已知，证明不等式时，比多的项数是　 项.‎ ‎11．【题文】用数学归纳法证明某命题时，左式为（为正 偶数），从“”到“”左边需增加的代数式为_____________________．‎ 三、解答题 ‎12．【题文】设数列的前项和为，并且满足，．猜 想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎13．【题文】观察下列等式：‎ 第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子 照此规律下去.‎ ‎（1）写出第5个等式；‎ ‎（2）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．‎ ‎14．【题文】时否存在常数使等式 对一切正整数都成立？若存在，用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．‎ ‎2.3数学归纳法 参考答案及解析 ‎1. 【答案】D ‎【解析】等式左边的数是从1加到n+3.当n=1时，n+3=4，故此时左边的数为从1加到4.‎ 考点：数学归纳法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎2. 【答案】B ‎【解析】因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，可知第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题应假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．‎ 考点：数学归纳法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎3. 【答案】A ‎【解析】因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．‎ 考点：数学归纳法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎4. 【答案】A ‎【解析】因为当时命题成立，可以推出当时该命题也成立，所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾，所以时命题不成立.‎ 考点：数学归纳法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎5. 【答案】B ‎【解析】时，左边为，时，左边为，可见左边添加的式子为．故选B．‎ 考点：数学归纳法．‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎6. 【答案】A ‎【解析】当时，左边，当时，左边 ‎=，所以左边增加的乘积因式为 ‎，故选A.‎ 考点：数学归纳法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎7. 【答案】D ‎【解析】当时，左边的代数式为，共有项，当时，‎ 左边的代数式为，共有项，用时 左边的代数式减去时左边的代数式的结果，即为不等式的左边增加的项，为 ‎，故选D.‎ 考点：数学归纳法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎8. 【答案】B ‎ ‎【解析】，则当时，‎ ‎.‎ 考点：数学归纳法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎9. 【答案】‎ ‎【解析】观察不等式中各项的分母变化知，时，‎ ‎.‎ 考点：数学归纳法．‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】较易 ‎10. 【答案】‎ ‎【解析】，，因此，比多了项.‎ 考点：数学归纳法．‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】较易 ‎11. 【答案】‎ ‎【解析】当时，左边为，当时，左边为，增加的项为.‎ 考点：数学归纳法中的第二步．‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 ‎12. 【答案】，证明见解析 ‎【解析】分别令，得 ‎∵，∴，猜想：，‎ 证明：由，①‎ 可知当时，，②‎ ‎①②，得，即.‎ ‎（i）当时，，‎ ‎∵，∴，成立.‎ ‎（ii）假设当时，，那么当时，‎ ‎,‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即当时也成立．‎ ‎∴，显然时，也成立，故对于一切，均有．‎ 考点：数列的通项公式，数学归纳法．‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎13. 【答案】（1）（2）‎ ‎，证明见解析 ‎【解析】（1）第5个等式为.‎ ‎（2）猜测第个等式为.‎ 证明：（i）当时显然成立；‎ ‎（ii）假设时成立，‎ 即有，‎ 那么当时，左边 而右边，‎ 这就是说时等式也成立．‎ 根据（i）（ii）知，等式对任何都成立．‎ 考点：数学归纳法．‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎14. 【答案】时，等式恒成立 ‎【解析】把n=1，2，3代入得方程组，解得，‎ 猜想：等式对一切都成立．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立．‎ ‎（2）假设时等式成立，即 ‎，‎ 则当时，‎ 所以当时，等式也成立，‎ 由（1）（2）知猜想成立，即存在，，使命题成立．‎ 考点：利用数学归纳法证明恒等式．‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般