2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学试题卷（理科）‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，复数，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.“若或，则”的否命题是（ ）‎ A．若且，则. B．若且，则.‎ C．若且，则. D．若或，则.‎ ‎5.条件：，条件：，则是的（ ）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6.从，，，，中任取个不同的数，事件为“取到的个数之和为偶数”，事件为“取到的个数均为偶数”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则下列成立的是（ ）‎ A． B． C． D．与大小不确定 ‎8.从人中选出人分别参加年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.（原创）定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，.则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11.甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛，另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时，发现甲共打局，乙共打局，而丙共当裁判局.那么整个比赛的第局的输方（ ）‎ A．必是甲 B．必是乙 C．必是丙 D．不能确定 ‎12.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知随机变量，若，则 ．‎ ‎14.二项式的展开式中，的系数为，则实数 ．（‎ 用数字填写答案）‎ ‎15.定义在上的单调函数，满足对，都有，则 ．‎ ‎16.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.第届世界杯足球赛在俄罗斯进行，某校足球协会为了解该校学生对此次足球盛会的关注情况，随机调查了该校名学生，并将这名学生分为对世界杯足球赛“非常关注”与“一般关注”两类，已知这名学生中男生比女生多人，对世界杯足球赛“非常关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，对世界杯足球赛“一般关注”的学生中男生比女生少人.‎ ‎（1）根据题意建立列联表，判断是否有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异？‎ ‎（2）该校足球协会从对世界杯足球赛“非常关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取人，再从这人中随机选出人参与世界杯足球赛宣传活动，求这人中至少有一个男生的概率.‎ 附：，.‎ ‎18.今年五一小长假，以洪崖洞、李子坝轻轨、长江索道、一棵树观景台为代表的红景点，把重庆推上全国旅游人气搒的新高.外地客人小胖准备游览上面这个景点，他游览每一个景台的概率都是，且他是否游览哪个景点互不影响.设 表示小胖离开重庆时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.‎ ‎（1）记“函数是实数集上的偶函数”为事件，求事件的概率.‎ ‎（2）求的分布列及数学期望.‎ ‎19.如图（1），在中，，，.，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图（2）.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是的中点，求直线与平面所成角的大小.‎ ‎20.已知椭圆，如图所示，直线过点和点，，直线交此椭圆于，直线交椭圆于.‎ ‎（1）若此椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，求实数的值；‎ ‎（2）当，，为定值时，求面积的最大值.‎ ‎21.（1）求证：当实数时，；‎ ‎（2）已知，，如果，的图象有两个不同的交点，.求证：.‎ ‎（参考数据：，，，为自然对数的底数）‎ ‎（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值.‎ ‎23.关于的不等式的整数解有且仅有一个值为（为整数）.‎ ‎（1）求整数的值；‎ ‎（2） 已知，若，求的最大值.‎ ‎2018年重庆一中高2019级高二下期期末考试 数学参考答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5: DCABA 6-10: DACBC 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）可得列联表为：‎ 非常关注 一般关注 合计 男生 女生 合计 ‎，所以没有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异.‎ ‎（2）由题意得男生抽人，女生人，.‎ ‎18.解：（1）因为在上的偶函数，所以；‎ 从而.‎ ‎（2）显然的可能取值为，，，；‎ ‎；；‎ 所以的分布列为：‎ ‎.‎ ‎19.（1）证明：∵，，∴.∴，，∴平面，又平面，∴.又，∴平面.‎ ‎（2）解：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，.又，，∴.‎ 令，则，，∴.‎ 设与平面所成的角为.∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成角的大小为.‎ ‎20.解：（1）双曲线的离心率是，所以的离心率是，所以有或，所以或.‎ ‎（2）易得的方程为，由，得，‎ 解得或，即点的纵坐标，‎ ‎，所以，‎ 令，，由，‎ 当时，；当时，，若，则，故当时，；‎ 若，则.∵在上递增，进而为减函数.∴当时，，‎ 综上可得.‎ ‎21.证明：（1），，则，所以在单调递增，所以，所以.‎ ‎（2）由题意，相加有，①‎ 相减有，从而，代入①有 ‎，即，‎ 不妨设，则，由（1）有.‎ 又，‎ 所以，即，设，则，‎ ‎，在单调递增，又，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎22.（1），‎ 故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.‎ 设，两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，‎ 可以得到，‎ 所以，解得或或.‎ ‎23.【解答】（1）由关于的不等式，可得，‎ ‎∵整数解有且仅有一个值为，则，即，又为整数，则.‎ ‎（2）由，由柯西不等式有，‎ 当且仅当，等号成立，所以的最大值为.‎