天津市南开中学2020届高三数学统练（3）

天津市南开中学2020届高三数学统练（3）

南开中学2020届高三数学统练（3）‎ 一、选择题（共9小题；共45分）‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，选C.‎ ‎【考点】集合的交集运算.‎ ‎【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．‎ ‎2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．‎ ‎3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．‎ ‎4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．‎ ‎2.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“a＞‎1”‎⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜‎0”‎，由此能求出结果．‎ ‎【详解】a∈R，则“a＞‎1”‎⇒“”，‎ ‎“”⇒“a＞1或a＜‎0”‎，‎ ‎∴“a＞‎1”‎是“”的充分非必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数表达式中含有绝对值及对数，分别求出满足的条件 ‎【详解】要使函数有意义，应满足 则，且 所以的定义域为 故选 ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出题目中的限制条件，有根号的要满足根号内大于或等于零，有对数的要满足真数位置大于零．‎ ‎4.函数的定义域为(　　)‎ A. (1，4) B. [1，4)‎ C. (－∞，1)∪(4，＋∞) D. (－∞，1]∪(4，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，，则或，‎ 当，无解；当，，‎ 则定义域为，故选A．‎ ‎5.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．‎ ‎【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．‎ 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．‎ ‎【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．‎ ‎6.已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎7.设函数，则的值域是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】当,即,时,或,   , 其最小值为  无最大值为, 因此这个区间的值域为:. 当时,,    其最小值为    其最大值为    因此这区间的值域为:. 综合得:函数值域为: ，故选D.‎ ‎8.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）‎ A. -3 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶性及赋值法即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：，‎ 又因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题．‎ ‎9.已知函数，函数，则函数的零点的个数为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由，‎ 所以 所以当时，零点一个，当时，无零点，当时，零点为一个，所以零点个数为个，故选A．‎ 考点：函数的零点个数的判断．‎ ‎【方法点睛】该题属于考查函数的零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定出函数解析式，根据题中所给的函数的解析式求得函数的解析式，从而得到关于的分段函数，通过对每一段上的解析式进行分析，求得相应的函数的零点，注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍，最后确定出该题的答案．‎ 二、填空题（共6小题；共30分）‎ ‎10.函数的定义域是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的真数大于0，二次根号下被开方数大于等于0，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎11.已知集合，，若则实数的值为________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．‎ 点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．‎ ‎（2）注意元素互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．‎ ‎（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．‎ ‎12.已知则当a的值为 时取得最大值.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值.‎ 考点：基本不等式求最值．‎ ‎13.若函数为偶函数，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，‎ ‎．‎ 考点：函数的奇偶性．‎ ‎【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．‎ ‎14.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（），则a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意在上单调递减，又是偶函数，‎ 则不等式可化为，则，，解得．‎ ‎15.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．‎ ‎【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．‎ 三、解答题（共5小题；共65分）‎ ‎16.中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因，故……1分 因，故.……3分 由正弦定理，得.……6分 ‎（2）……8分 ‎……10分 的面积为.……12分 考点：诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.‎ ‎17.如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面BDE；‎ ‎（2）求二面角C-EM-N的正弦值.‎ ‎（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）；（3）AH长为4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用面面平行的判定定理证明平面平面BDE，再由面面平行的性质定理得出平面BDE；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；‎ ‎（3）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量法求解即可得出线段AH的长.‎ ‎【详解】（1）取AB中点F，连接MF，NF，‎ 因为M为AD中点，‎ 所以，‎ 因为平面BDE，平面BDE，‎ 所以平面BDE.‎ 因为N为BC中点 所以，‎ 又D，E分别为AP，PC的中点，‎ 所以，则.‎ 因为平面BDE，平面BDE，‎ 所以平面BDE 又，平面 所以平面平面BDE 平面 则平面BDE；‎ ‎（2）因为底面ABC，.‎ 所以以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 因为，，‎ 所以，，，，，，‎ 则，，‎ 设平面MEN的一个法向量为，‎ 由，得，‎ 取，得.‎ 由图可得平面CME的一个法向量为.‎ 所以.‎ 所以二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为；‎ ‎（3）设，则，，.‎ 因为直线MH与直线BE所成角的余弦值为，‎ 所以，‎ 解得：.‎ 所以当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查了由面面平行的性质定理证明线面平行以及利用向量法求面面角，由线线角求其他，属于中档题.‎ ‎18.已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），，；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；‎ ‎（2）用错位相减法求和．‎ ‎【详解】（1）数列公比为，则，∵，∴，‎ ‎∴，‎ 的公差为，首项是，‎ 则，，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴．‎ ‎（2），数列的前项和记为，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①－②得：‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．‎ ‎19.已知函数 ‎（I）求的导函数 ‎（II）求在区间上的取值范围 ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）利用求导法则及求导公式，可求得的导数；（Ⅱ）令，解得或，进而判断函数的单调区间，结合区间端点值求解函数的取值范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由 ‎，解得 或．‎ 因为 x ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，）‎ ‎（，）‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ f（x）‎ ‎0‎ 又，‎ 所以f（x）在区间上的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)见详解；(2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.‎ 详解】(1)对求导得.所以有 当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；‎ 当时，区间上单调递增；‎ 当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.‎ ‎(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；‎ 此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.‎ 若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .‎ 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.‎ 即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为 而，故所以区间上最大值为. ‎ 即相减得，即，又因为，所以无解.‎ 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.‎ 即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为 而，故所以区间上最大值为. ‎ 即相减得，解得，又因为，所以无解.‎ 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.‎ 所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为 即解得.‎ 综上得或.‎ ‎【点睛】‎ 这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．‎