数学理卷·2018届云南省峨山彝族自治县第一中学高三上学期期末考试仿真（2018

数学理卷·2018届云南省峨山彝族自治县第一中学高三上学期期末考试仿真（2018

2017-2018 学年上学期高三期末考试仿真测试卷 理科数学 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 等于 A． B． C． D． 2. 已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 A．1 B．-1 C．2 D．-2 3. 已知向量 满足 ， ， ，则 A． B．3 C．5 D．9 4. 已知直线 平分圆 的周长，且直线 不经过第三象限，则直 线 的倾斜角 的取值范围为 A． B． C． D． 5. 将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 个 单位，所得图象的一条对称轴的方程是 A． B． C. D． 6. 函数 的图象大致是 7. 若 ， 展开式中， 的系数为-20，则 等于 2{ 2 0 }Z= + − ≤ ∈A x x x x， { 2 }Z= ∈B = x x k k， BA ( ) { }10， { }24 −− ， { }01，− { }02，− i 2i + i= 1+i az ( )=a ba， 2=a 1=b 2−=⋅ba ( )=+ ba2 5 l 0266: 22 =++−+ yxyxC l l θ ( ) [ ] 13590 ， [ ] 12090 ， [ ] 13560 ， [ ] 15090 ， π( ) sin 2 4     f x = x - π 12 ( ) 3π= 16x 7π= 24x 2π= 3x 5π= 6x cos 3π 3π( ) = - 0 0-sin 2 2    ∈ ∪      xf x xx x ， ， ， ( ) 0>=+ bab y a x 21 FF， ax 2= P 1PF 2F ( )     3 20，      13 2，     2 10，      12 1， 11. 已知 ，且 ，则 A． B． C. D． 12. 已知函数 若关于 的方程 至少有两个不 同的实数解，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本小题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 在 1，2，3，4，5，6，7，8 中任取三个不同的数，取到 3 的概率为 ． 14. 已知 的面积为 ，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 ． 15. 已知函数 是偶函数，定义域为 ，且 时， ，则 曲线 在点 处的切线方程为 ． 16.已知正方体 的体积为 1，点 在线段 上（点 异于点 ） ， 点 为线段 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为四边形， 则线段 长的取值范围为 ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17. 已知 是等比数列， 满足 ，且 . （Ⅰ）求 的通项公式和前 项和 ； π0 2  ∈  θ ， 35cos 12 sin 12 =+ θθ ( )=θ2tan 24 7 7 24 24 7± 7 24± ( )    ≤++− >+−= ，， ，， 0211 022 xmx xmmxxxf x 0)( =− mxxf m ( )∞+   − ，， 203 1  ( )∞+    − ，， 113 1       ∞+− ， 3 1 ( )∞+    − ，， 223 1  ABC∆ S CBA ，， cba ，， CS cos4= 2=a 23=b =C ( )xf ( ) ( )∞+∞− ，， 00  0>x 1( ) ex x -f x = ( )xfy = ( )( )11 −− f， 1111 DCBAABCD − M BC M CB， N 1CC AMN 1111 DCBAABCD − BM { }na { }nb 31 21 == bb ， ( ) n nn nbababa 23232211 ⋅−+=+++  { }na n nS （Ⅱ）求 的通项公式. 18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页， 聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区 18∽50 岁的 5000 名 居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示： （Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取 3 位居民，其中恰有 位居民的月流量的使用情况 在 300M-400M 之间，求 的期望 ； （Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值； （Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况 与其日销售份数 成线性相 关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况 与其日销售份数 的结果统计如下表所示： 折扣 1 折 2 折 3 折 4 折 5 折 { }nb X X ( )XE x y x y x 销售份数 50 85 115 140 160 试建立 关于 的的回归方程. 附注：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 19. 在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， 是等腰三角 形， ， 是 的一个三等分点（靠近点 ）， 与 的延长线交于点 ， 连接 . （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正切值 y y x axby ˆˆˆ += ( )( ) ( )∑ ∑ − − − −− = n i i N i ii xx yyxx b 1 2 1ˆ xbya ˆˆ −= ABCDP − ABCD ⊥PA ABCD PAD∆ ADAB 2= E AB A CE DA F PF ⊥PCD PAD FPEA −− 20. 过抛物线 的焦点 作直线 与抛物线 交于 两点，当点 的 纵坐标为 1 时， . （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）若抛物线 上存在点 ，使得 ，求直线 的方程. 21. 已知函数 . （Ⅰ）若 ，证明：函数 在 上单调递减； （Ⅱ）是否存在实数 ，使得函数 在 内存在两个极值点？若存在，求实数 的取 值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据： ， ） ( )02: 2 >= ppyxC F l C BA， A 2=AF C C 0( 2 )M - y， MBMA ⊥ l 2 ln( ) 1( )R∈x af x = + +a+ ax x 0>a ( )xf [ e )+ ∞， a ( )xf ( )80， a 693.021 ≈n 3 2e 4.5≈ （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第 一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求直线 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 两点，求 . 23. [选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 . （Ⅰ）若 ，解不等式 ； （Ⅱ）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. l    = = ty tx 3 t O x C 03cos82 =+− θpp l l C BA， OBOA ⋅ ( ) 1−++= xaxxf 0=a ( ) 31 ≤−xf ( ) 12 −≥ axf R∈x a 【参考答案】 一、选择题 1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. C 7. A 8. D 9. C 10. B 11. D 12. A 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解:（Ⅰ） ， ， ， ， ， ， 是等比数列， ， 的通项公式为 ， 的前 项和 . （Ⅱ）由 及 得 ， 时， ， ， ， ， 的通项公式为 .， 18.解：（Ⅰ）依题意， ∽N ，故 ； （Ⅱ）依题意，所求平均数为 3 8 8 5 5 1- ( 1)ey = x+ 10 2     ， ( ) n nn nbababa 23232211 ⋅−+=+++  12311 =−=∴ ba ( ) 72343 2 2211 =⋅−+=+ baba 11 =b 32 =b 11 =∴a 22 =a { }na 2 1 2 = a a { }na∴ 12 −= n na { }na∴ n 1221 21 −=− −= n n nS 12 −= n na ( ) n nn nbababa 23232211 ⋅−+=+++  ( ) n n n nbbbb 2323222 1 3 2 21 ⋅−+=⋅++++ −  1>n ( ) 1 1 2 3 2 21 2523222 − − − ⋅−+=++++ n n n nbbbb  ( ) ( ) ( ) 111 212252323232 −−− ⋅−=⋅−−−⋅−+=∴ nnn n n nnnb 12 −=∴ nbn 11112 b==−× 23122 b==−× { }nb∴ 12 −= nbn X ( )25.03， ( ) 75.025.03 =×=XE 36913445.1575.87551202.065008.055035.045025.035022.025008.0150 =+++++=×+×+×+×+×+× 故所用流量的平均值为 ； （Ⅲ)由题意可知 ， ， ， 所以， 关于 的回归方程为： 19.（Ⅰ）证明：因为 平面 ，所以 又因为底面 是矩形，所以 又因为 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 . （Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点 作 ，垂足为点 ，连接 . 不妨设 ，则 . 因为 平面 ，所以 . 又因为底面 是矩形，所以 . 又因为 ，所以 平面 ，所以 A . 又因为 ，所以 平面 ，所以 所以 就是二面角 的平面角. 在 中，由勾股定理得 ， 由等面积法，得 ， 又由平行线分线段成比例定理，得 . 所以 .所以 . 所以 . M369 35 54321 =++++=x 1105 1601401158550 =++++=y ( )( ) ( ) 5.2710 275ˆ 5 1 2 5 1 == − −− = ∑ ∑ = = i i i ii xx yyxx b 5.27ˆˆ =−= xbya y x 5.275.27ˆ += xy ⊥PA ABCD CDPA ⊥ ABCD CDAD ⊥ AADPA = ⊥CD PAD ⊂CD PCD ⊥PCD PAD A PEAM ⊥ M FM 3== ADPA 362 === BCADAB ， ⊥PA ABCD AFPA ⊥ ABCD AFAB ⊥ AABPA = ⊥AF PAB PEAF ⊥ AAFAM = ⊥PE AFM FMPE ⊥ AMF∠ FPEA −− RtΔPAE 1323 2222 =+=+= AEPAPE 13 136 13 23 =×=⋅= PE AEPAAM 3 1== DC AE FD AF 2 1= AD AF 2 3 2 1 == ADAF 4 13 13 136 2 3 tan ===∠ AM AFAMF 所以二面角 的正切值为 . 方法二：（向量法）以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标 系： 不妨设 ，则由（Ⅱ）可得 ， . 又由平行线分线段成比例定理，得 ， 所以 ，所以 . 所以点 ， ， . 则 ， . 设平面 的法向量为 ，则 由 得 得 令 ，得平面 的一个法向量为 ； 又易知平面 的一个法向量为 ； 设二面角 的大小为 ，则 . 所以 .所以二面角 的正切值为 . 20.解：（Ⅰ） 的准线方程为 ，当点 纵坐标为 1 时 ， FPEA −− 4 13 AF AB AP x y z 3== ADPA 3=AP 2=AE 3 1== DC AE FD AF 2 1= AD AF 2 3 2 1 == ADAF ( )300 ，，P ( )020 ，，E      002 3 ，，F ( )0 2 -3PE = ，， 3 0 32 PF  = −    ，， PEF ( ), ,n x y z= ( ) ( ) ( ) 0, , 0,2, 3 3 0, , ,0, 32 n PE x y z n PF x y z  ⋅ = ⋅ =−  ⋅ = ⋅ =−      ， ， 2 3 0 3 3 02 y z x z − = − = ， ， 3 2 2 y z x z  =  = ， ， 1z = PEF 32 12 n  =   ，， PEA 3 ,0,02 m AF  = =     A PE F− − θ 3 32, ,1 ,0,0 42 2cos 29 3 29 2 2 n m n m θ    ⋅   ⋅    = = = × ( )2 2429 13tan 4 4 θ − = = A PE F− − 13 4 2: 2C x py= 2 py = − A 2AF = ， ， 势物线 的方程为 . （Ⅱ） 在 上， ， 又 ,设 方程为 ，由 得 ， 令 ， ，则 ， ， ， ， , ， 或 0， 当 时， 过 点（舍）， ， 方程为 . 21.解：（Ⅰ）函数 的定义域是 . 求导得 . 设 ，则 与 同号. 所以 ，若 ，则 对任意 恒成立. 所以函数 在 上单调递减. 又 ， 所以当 时，满足 .即当 时，满足 . 所以函数 在 上单调递减. （Ⅱ）①当 时，函数 在 上单调递减. 由 ，又 ， 时， ， 取 ，则 ， 所以一定存在某个实数 ，使得 . 故在 上， ；在 上， . 1 22 p∴ + = 2p∴ = ∴ C 2 4x y= ( ) 0 2, yM − C ( )2 0 2 14y −∴ = = ( )0,1F l 1y kx= + 2 1 4 y kx x y = +  = ， 2 4 4 0x kx− − = ( ) 1 1 A x y， ( ) 2 2 B x y， 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = − ( ) 1 1 2 1MA x y= + − ， ( ) 2 2 2 1MB x y= + − ， 0MA MB MA MB⊥ ∴ ⋅ =   ， ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 02 2 1 1x x y y+ =+ + − − 24 8 4 4 0 2k k k∴− + + − = ∴ =， 0k = l M 2k∴ = l∴ 2 1y x= + ( ) 2 ln 1x af ax x x − + + + ( )0 + ∞， ( ) ( ) ( ) 2 2 322 1 ln 2 1 2ln1 0 x x x x axxf ax xxxx ⋅ − ⋅ − − ′ = + =− >   ( ) 1 2lng x axx = − − ( )f x′ ( )g x ( ) 2g ax x ′ = − − 0a > ( ) 0g x′ < ( )0x ∈ + ∞， ( ) 1 2lng x axx = − − ( )0 + ∞， ( ) 11 2ln e e 1 2 e e 0e 2g a a a= − − = − × − = − < [ ]ex ∈ + ∞， ( ) ( ) 0eg gx ≤ < [ ]ex ∈ + ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x [ ]e + ∞， 0a ≥ ( ) 1 2lng x axx = − − ( )0 + ∞， ( ) 1 2ln e e e 0eg a a= − − = − ≤ 0a ≥ 0 ex< ≤ ( ) 1 2ln 1 2ln 2g x ax x ax = − − ≥ − − 1 2e ax −= ( )1 2 11 2 2 0e 2 ag aa−  ≥ − − =−   (0 0 ex ∈ ， ( ) 0 0g x = ( ) 0 0x x∈ ， ( ) 0g x > ( ) 0 x x∈ + ∞， ( ) 0g x < 即在 上， ；在 上， . 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.此时函数 只有 1 个极值点 ，不合题意，舍去； ②当 时，令 ，得 ；令 ，得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 故函数 的单调情况如下表： 0 ＋ 极小值 要使函数 在 内存在两个极值点，则需满足 即 ， 解得 又 ， ， 所以 . 此时， ， 又 ， ； 综上，存在实数 ，使得函数 在 内存在两个极值点. 22.解：（Ⅰ）由 得 ， 的极坐标方程为 即 ， . ( ) 0 0x x∈ ， ( ) 0f x′ > ( ) 0 x x∈ + ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x ( ) 0 0 x， ( ) 0 x + ∞， ( )f x 0 x 0a < ( ) 2 0g ax x ′ = − − > 2x a > − ( ) 2 0g ax x ′ = − − < 20 x a < < − ( )g x 20 a  −  ， 2 a  − + ∞  ， ( )g x x 20 a  −  ， 2 a − 2 a  − + ∞  ， ( )g x′ − ( )g x   ( )f x ( )0 8， ( ) 2 0 08 20 8 g a g a    <−    >   < − <  ， ， ， 2 21 2ln 0 1 2ln8 8 0 20 8 a a a a a     − − <− −        − − >   < − <  ， ， ， 3 2 2 1 3 ln28 4 1 4. a e a a  > −   < −   < − ， ， 3 2 2 2 0.444.5e − ≈ − ≈ − 1 3 1 3ln2 0.693 0.3958 4 8 4 − ≈ − × ≈ − 3 2 2 1 3 ln28 4e a− < < − 2 e e 2 ea − > > e e e1e 1 2 2 2 0e e e2e g a a a    = − × − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ >−      3 2 2 1 3 ln28 4e a  − −∴ ∈   ， 3 2 2 1 3 ln28 4e a  − −∈   ， ( )f x ( )0 8， 3 x t y t = = ， 3y x= l∴ sin 3 cosρ θ ρ θ= 3θ = ( )π 3 Rθ ρ= ∈ （Ⅱ）由 得 ， 设 ， ，则 ， . 23.解:（Ⅰ） 时， ， 由 得 ， 不等式 的解集为 . （Ⅱ） 对 成立， 又 对 成立， ， ， 即 . 2 π 3 8 cos 3 0 θ ρ ρ θ  =  − + = ， 2 4 3 0ρ ρ− + = ( ) 1 1 ,A ρ θ ( ) 2 2 ,B ρ θ 1 2 3ρ ρ = 1 2 3OA OB ρ ρ∴ ⋅ = = 0a = ( ) 1f x x x= + − ( ) 2 3 2 1 1 21 1 2 2 3 1 x x f xx x x x x − > = + = ≤ ≤− − −  − + < ， ， ， ， ， ， ( ) 31f x ≤− 0 3x≤ ≤ ∴ ( ) 31f x ≤− [ ]0 3， ( ) ( ) ( ) 11f x ax a x≥ =− ++ − Rx ∈ ( ) 2 1f x a≥ − Rx ∈ 1 2 1a a∴ ≥+ − 2 22 1 4 4 1a a a a∴ + + ≥ − + 0 2a∴ ≤ ≤ [ ]0 2a ∈ ，