高一数学（人教A版）必修4能力提升：3-1-2-1 两角和与差的正弦、余弦

高一数学（人教A版）必修4能力提升：3-1-2-1 两角和与差的正弦、余弦

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．在△ABC中，已知sin(A－B)·cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰非直角三角形 ‎[答案]　C ‎[解析]　由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，‎ ‎∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ ‎2.sin＋sin的化简结果是(　　)‎ A．2sin B．2sin C．2sin D．2sin ‎[答案]　A ‎[解析]　sin＋sin ‎＝sin＋sin ‎＝cos＋sin ‎＝2 ‎＝2 ‎＝2sin＝2sin.‎ ‎3．(2013烟台模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.‎ ‎4．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　　)‎ A．0　　　　 B.　　 　‎ C．0或　　 D．0或± ‎[答案]　A ‎[解析]　由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，‎ cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，‎ 左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.‎ ‎5．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ 等于(　　)‎ A. B. C.或 D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，‎ 又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，‎ 由sinα＝得，cosα＝，‎ ‎∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B.‎ ‎6．(2012·全国高考重庆卷)(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　 ‎＝ ‎＝ ‎＝＝sin30°＝ 二、填空题 ‎7．化简：cos(35°－x)cos(25°＋x)－sin(35°－x)sin(25°＋x)＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　原式＝cos[(35°－x)＋(25°＋x)]‎ ‎＝cos60°＝.‎ ‎8．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，‎ ‎∵450°<β<540°，∴sinβ＝，‎ ‎∴sin(60°－β)＝·－×＝－.‎ ‎9．已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵α为锐角，tanα＝，‎ ‎∴sinα＝，cosα＝，‎ 同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.‎ ‎∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ‎＝×＋×＝.‎ 三、解答题 ‎10．已知sinα＝，cosβ＝－，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．‎ ‎[解析]　∵sinα＝>0，cosβ＝－，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．‎ ‎(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时，‎ cosα＝，sinβ＝ ‎∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋×＝.‎ ‎∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.‎ ×(－)－× ‎＝＝－.‎ ‎(2)当α为第二象限角且β为第三象限角时 ‎∵sinα＝，cosβ＝－，‎ ‎∴cosα＝－，sinβ＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ‎＝×(－)＋(－)×(－)＝ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ‎＝×(－)－(－)×(－)＝－，‎ 综上可知：sin(α＋β)＝，‎ sin(α－β)＝－.‎ ‎11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.‎ ‎(1)求cos(α－β)的值；‎ ‎(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．‎ ‎[解析]　(1)∵|a－b|＝，‎ ‎∴a2－‎2a·b＋b2＝，‎ 又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，‎ ‎∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，‎ ‎∴cos(α－β)＝.‎ ‎(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，‎ 由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，‎ 又sinβ＝－，∴cosβ＝，‎ ‎∴sinα＝sin[(α－β)＋β]‎ ‎＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ ‎＝×＋×＝.‎ ‎12．(山东师大附中2012－2013期中)已知cosα＝，‎ sin(α－β)＝，且α、 β∈(0，)．求：‎ ‎(1)cos(2α－β)的值；‎ ‎(2)β的值．‎ ‎[解析]　(1)因为α、 β∈(0，)，‎ 所以α－β∈(－，)，又sin(α－β)＝>0，‎ ‎∴0<α－β< 所以sinα＝＝，‎ cos(α－β)＝＝，‎ cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]‎ ‎＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝ ‎(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝ 又因为β∈(0，)，所以β＝.‎