高二数学人教A版选修4-5 第四讲数学归纳法证明不等式复习导学案x
第四讲数学归纳法证明不等式复习
一、知识梳理
二、题型、技巧归纳
题型一、归纳递推要用好归纳假设
数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立．
例1 用数学归纳法证明：对于n∈N＋，
＋＋＋…＋＝.
[再练一题]
1．数列的前n项的和记为Sn.
(1)求出S1，S2，S3的值；
(2)猜想出Sn的表达式；
(3)用数学归纳法证明你的猜想．
题型二、不等式证明中的强化命题
如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)
5)时命题成立
3．设n∈N＋，则2n与n的大小关系是( )
A．2n>n B．2n0，n∈N，n≥2.
(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．
参考答案
1．【解析】 左边等比数列求和Sn＝
＝2[1－()n]＞，
即1－()n＞，()n＜.
∴()n＜()7.
∴n＞7，∴n取8，选B.
【答案】 B
2．【解析】 由题意知n≥5，n∈N＋，
故应假设n＝k(k≥5)时命题成立．
【答案】 C
3．【解析】 2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得(1＋1)n>n，即2n>n.
【答案】 A
4．【解】 (1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则Fn(1)＝n－1>0，
Fn＝1＋＋＋…＋－2
＝－2＝－<0，
所以Fn(x)在内至少存在一个零点．
又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1>0，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，
即－2＝0，故xn＝＋x.
(2)法一：由题设，gn(x)＝.
设h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－，x>0.
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－.
若0xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－·xn－1＝xn－1－xn－1＝0.
若x>1，h′(x)0.
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)0)，
则hk′(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝k(k＋1)xk－1(x－1)．
所以当01时，h′k(x)>0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．
所以hk(x)>hk(1)＝0，
从而gk＋1(x)> .
故fk＋1(x)
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