2020年高考数学(文)金榜题名冲刺卷(一)(解析版)

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2020年高考数学(文)金榜题名冲刺卷(一)(解析版)

2020 年高考金榜冲刺卷(一) 数学(文) (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围:高中全部内容. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 2 1 i (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A. i1  B.1 i C.1 i D. i1  【答案】C 【解析】因为 2 1 ii 1  ,所以其共轭复数是1 i ,故选 C. 2.已知集合  |1 10 ,P x N x     2| 6 0 ,Q x R x x     则 P Q 等于( ) A. 1,2,3 B. 2,3 C. 1,2 D. 2 【答案】D 【解析】    2| 6 0 3,2Q x R x x        2P Q   .故选 D. 3.设 : 0p b a  , 1 1:q a b  ,则 p 是 q成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 0b a  ,则 1 1 a b  成立,所以 p 是 q的充分条件,若 1 1 a b  ,则当 0 0b a , 时成立,不满 足 0b a  ,所以 p 不是 q的必要条件,所以 p 是 q的充分不必要条件,故选 A. 4.如图所示的程序框图,运行后输出的结果为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】C 【解析】执行如图程序框图:当 n=1,b=1,当 n=2,b=2,当 n=3,b=4,当 n=4,b=16,当 n=5 则输出 b, 故选 C. 5.设数列 na 前 n 项和为 nS ,已知 3 n nS a n ,则 3 a ( ) A. 9 8 B. 15 8 C.19 8 D. 27 8 【答案】C 【解析】当 2n  时,  1 13 3 ( 1)n n n n na S S a n a n        , 整理得 12 3 1n na a   ,又 1 1 13 1S a a   ,得 1 1a 2  , 2 1 32 3 1 12a a     ,得 2 5 4a  , 3 2 152 3 1 14a a     ,得 3 19 8a  ,故选 C. 6.圆 2 2 4 0x y   与圆 2 2 4 4 12 0x y x y     的公共弦长为( ) A. 2 B. 3 C. 2 2 D.3 2 【答案】C 【解析】两圆的方程相减可得,两圆公共弦所在的直线方程为: - +2 0x y  ,圆 2 2 4 0x y   的圆心到公 共弦的距离为 0-0+2= = 2 2 d ,所以公共弦长为  22=2 2 - 2 =2 2l .故选 C. 7.已知 为第二象限角, 2sin 4 10      ,则 tan 2  的值为( ) A. 1 2  B. 1 3 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】由题意可得:  2 2sin sin cos cos sin sin cos4 4 4 2 10                , 则: 1sin cos 5    ,据此有: 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos sin 2tan tan 11 12 2 2 2 2 2,5 5sin cos tan 12 2 2                  , 解得: tan 22   或 1tan 2 3    , 为第二象限角,则 tan 02   ,综上可得: tan 2  的值为 2.故选 C. 8.已知 1e , 2e 是夹角为 60 的两个单位向量,若 21 eea  , 21 24 eeb  ,则 a 与b 的夹角为( ) A.30 B. 60 C.120 D.150 【答案】C 【解析】试题分析:因为 21 eea  , 21 24 eeb  ,所以 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( 4 2 ) 4 2 2a b e e e e e e e e                    ,而 0 1 2 1 2 1cos60 2e e e e      ,所以 2 2 1 1 2 24 2 2 4 1 2 3a b e e e e                 ,而 2 2 1 2 1 1 2 22 1 1 1 3a e e e e e e                , 2 2 1 2 1 1 2 24 2 16 16 4 16 8 4 2 3b e e e e e e                 ,所以与 b 的夹角的余弦值为 3 1cos 23 2 3 a b a b            ,所以 a 与b 的夹角为120 ,故选 C. 9.已知函数   2 22cos sin 2f x x x   ,则( ) A.  f x 的最小正周期为 ,最大值为3 B.  f x 的最小正周期为 ,最大值为 4 C.  f x 的最小正周期为 2π,最大值为3 D.  f x 的最小正周期为 2π,最大值为 4 【答案】B 【解析】根据题意有   1 cos2 3 5cos2 1 2 cos22 2 2 xf x x x      ,所以函数  f x 的最小正周期为 2 2T    ,且最大值为  max 3 5 42 2f x    ,故选 B. 10.如图所示的正方形 1 2 3SG G G 中, E F, 分别是 1 2G G , 2 3G G 的中点,现沿 SE ,SF ,EF 把这个正方 形折成一个四面体,使 1G , 2G , 3G 重合为点G ,则有( ) A.  SG  平面  EFG B. EG  平面 SEF C.  GF  平面  SEF D. SG  平面 SEF 【答案】A 【解析】由题意: SG FG , SG EG , FG EG G , FG EG , 平面 EFG , 所以 SG  平面 EFG 正确,D 不正确;又若 EG 平面 SEF ,则 EG  EF ,由平面图形可知显然不成立; 同理  GF  平面  SEF 不正确;故选 A. 11.已知 ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .若 2c  , ABC 的面积为 2 2 4 4 a b  ,则 ABC 面积的最大值为( ) A. 2 3 B. 3 1 C. 2 2 D. 2 1 【答案】D 【解析】∵ 2c  , 2 2 2 2 24 4 4ABC a b a b cS      2 cos 1 sin4 2 ab C ab C  . ∴ tan 1 4C C = Þ = ,由余弦定理得 2 2 2 2 24 2 cos 2c a b ab C a b ab       2 2ab ab  , ∴ 4 4 2 2 2 2 ab     ,∴  1 1 2sin 4 2 22 2 2ABCS ab C      2 1  .故选 D. 12.若存在唯一的正整数 0x ,使关于 x 的不等式 3 23 5 0x x ax a     成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 1(0, )3 B. 1 5( , ]3 4 C. 1 3( , ]3 2 D. 5 3( , ]4 2 【答案】B 【解析】设 3 2( ) 3 5f x x x ax a     ,则存在唯一的正整数 0x ,使得 0( ) 0f x  , 设 3 2( ) 3 5g x x x   , ( ) ( 1)h x a x  ,因为 2( ) 3 6g x x x   , 所以当 ( , 0)x   以及 (2, ) 时, ( )g x 为增函数,当 (0,2)x 时, ( )g x 为减函数, 在 0x  处, ( )g x 取得极大值 5,在 2x  处, ( )g x 取得极大值1.而 ( )h x 恒过定点 ( 1,0) , 两个函数图像如图, 要使得存在唯一的正整数 0x ,使得 0( ) 0f x  ,只要满足 (1) (1) (2) (2) (3) (3) g h g h g h      ,即 1 3 5 2 8 12 5 3 27 27 5 4 a a a            ,解得 1 5 3 4a  ,故选 B. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 lny x x 在 x e 处的切线的斜率 k  . 【答案】2 【解析】因为 lny x x ,所以 ' ln 1y x  ,所以它在 x e 处的切线的斜率 ln 1 2k e   . 14. 若函数 sin( ) cos a xf x x  在区间 π π( , )6 3 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 . 【答案】[2, ) 【解析】因为函数 sin( ) cos a xf x x  在区间 π π( , )6 3 上单调递增, 所以 ( ) 0f x  在区间 π π( , )6 3 恒成立, 2 2 cos sin ( sin ) ( sin ) sin 1( ) cos cos x x a x x a xf x x x          因为 2cos 0x  ,所以 sin 1 0a x   在区间 π π( , )6 3 恒成立,所以 1 sina x  , 因为 ( , )6 3x   ,所以 1 3 2 3 1sin 22 2 3 sinx x      , 所以 a 的取值范围是[2, ) . 15.已知 0, 0, 0a b c   ,若点  ,P a b 在直线 2x y c   上,则 4 a b a b c  的最小值为___________. 【答案】 2 2 2 【解析】  ,P a b 在 2x y c   上, 2a b c    , 2 0a b c    , 4 4 2 2 a b c a b c c c      4 2 12 c c    ,设 2 c m c n     ,则 2m n  , 4 2 4 2 4 2 2 2 m n c c m n m n            2 23 3 2 3 2 2n m m m m n m n         , 当 2 22m n ,即 2 2 2c   时,“=”成立, 4 2 1 3 2 2 1 2 2 22 c c         , 即 4 a b a b c  的最小值为 2 2 2 ,故答案为 2 2 2 . 16.如图,公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇,且∠QPN =30°,在 A 处有一所中学, AP =160m,假设拖拉 机行驶时,周围 100 米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校受影响, 已知拖拉机的速度为 18 km/h,那么学校受影响的时间为________s. 【答案】24 【解析】学校受到噪音影响。理由如下:作 AH⊥MN 于 H,如图, ∵PA=160m,∠QPN=30∘ ,∴AH= 1 2 PA=80m, 而 80m<100m,∴拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校受到噪音影响, 以点 A 为圆心,100m 为半径作 A 交 MN 于 B. C,如图,∵AH⊥BC, ∴BH=CH,在 Rt△ABH 中,AB=100m,AH=80m, 2 2 60BH AB AH m   ,∴BC=2BH=120m, ∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s,∴拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间=120÷5=24(秒), ∴学校受影响的时间为 24 秒。 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)设{ }na 是等比数列 ,其前 n 项的和为 nS ,且 2 2a  , 2 13 0S a  . (1)求{ }na 的通项公式; (2)若 48n nS a  ,求 n 的最小值. 【解析】(1)设 na 的公比为 q,因为 2 13 0S a  ,所以 2 12 0a a  ,所以 2 1 2aq a   , 又 2 2a  ,所以 1 1a  ,所以 1 1 1 2n n na a q    . (2)因为  1 1 2 11 n n n a q S q     ,所以 1 12 1 2 3 2 1n n n n nS a         ,由 13 2 1 48n   ,得 13 2 49n  ,即 1 492 3 n  ,解得 6n  ,所以 n 的最小值为 6. 18.(12 分)如图,在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,已知 1 1AB BB C C 侧面 , 1AB BC  , 1 2BB  , 1 3BCC   . (1)求证: 1C B ABC 平面 ; (2)求点 1B 到平面 1 1ACC A 的距离. 【解析】(1)因为侧面 AB  1 1BB C C , 1BC  侧面 1 1BB C C ,故 1AB BC , 在 1BCC△ 中, 1 1 11, 2, 3BC CC BB BCC      , 由余弦定理得: 2 2 2 2 2 1 1 1 12 cos 1 2 2 1 2 cos 33BC BC CC BC CC BCC              , 所以 1 3BC = 故 2 2 2 1 1BC BC CC  ,所以 1BC BC , 而 1,BC AB B BC ABC   平面 . (2)点 1B 转化为点 B , 1 3 6C ABCV   , 1 7 2ACCS  , 又 1 1 1C ABC B ACCV V  ,所以点 1B 到平面 1 1ACC A 的 距离为 21 7 . 19.(12 分)贵广高速铁路自贵阳北站起,经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州 南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共 6 个站. 记者对广 东省内的 6 个车站的外观进行了满意度调查,得分情况如下: 车站 怀集站 广宁站 肇庆东站 三水南站 佛山西站 广州南站 满意度得分 70 76 72 70 72 x 已知 6 个站的平均得分为 75 分. (1)求广州南站的满意度得分 x,及这 6 个站满意度得分的标准差; (2)从广东省内前 5 个站中,随机地选 2 个站,求恰有 1 个站得分在区间(68,75)中的概率. 【解析】(1)由题意,得 1 (70 76 72 70 72 ) 756 x      ,解得 90x  . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 6 1 1[( ) ( ) ( ) ] (5 1 3 5 3 15 ) 76 6s x x x x x x              . (2)前 5 个站中随机选出的 2 个站,基本事件有 (怀集站,广宁站),(怀集站,肇庆东站),(怀集 站,三水南站),(怀集站,佛山西站),(广宁站,肇庆东站),(广宁站,三水南站),(广宁站, 佛三西站),(肇庆东站,三水南站),(肇庆东站,佛山西站),(三水南站,佛山西站)共 10 种, 这 5 个站中,满意度得分不在区间(68,75)中的只有广宁站. 设 A 表示随机事件“从前 5 个站中,随机地选 2 个站,恰有 1 个站得分在区间(68,75)中”,则 A 中的 基本事件有 4 种,则 4 2( ) 10 5P A   . 20.(12 分)已知抛物线 2 2y x ,过点 (1,1)P 分别作斜率为 1k , 2k 的抛物线的动弦 AB 、CD ,设 M 、N 分别为线段 AB 、 CD 的中点. (1)若 P 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程; (2)若 1 2 1k k  ,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 【解析】(1)设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,则 2 1 12y x ①, 2 2 22y x ②. ①-②,得     1 2 1 2 1 22y y y y x x    .又因为  1,1P 是线段 AB 的中点,所以 1 2 2y y  所以, 2 1 1 2 1 2 1 2= 1y yk x x y y    .又直线 AB 过  1,1P ,所以直线 AB 的方程为 y x . (2)依题设  ,M MM x y ,直线 AB 的方程为  11 1y k x   ,即 1 11y k x k   , 亦即 1 2y k x k  ,代入抛物线方程并化简得  2 2 2 1 1 2 22 2 0k x k k x k    . 所以, 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2k k k kx x k k      ,于是, 1 2 2 1 1 M k kx k  , 1 2 1 2 1 22 11 1 1 M M k ky k x k k k kk        . 同理, 1 2 2 2 1 N k kx k  , 2 1 Ny k .易知 1 2 0k k  ,所以直线 MN 的斜率 2 1 2 11 M N M N y y k kk x x k k    . 故直线 MN 的方程为 2 1 1 2 2 1 2 1 1 11 1 k k k ky xk k k k        ,即 2 1 2 1 11 k ky xk k  .此时直线过定点 0,1 . 故直线 MN 恒过定点 0,1 . 21.(12 分)已知     21 xf x ax e x   . (1)当 1a  时,讨论函数  f x 的零点个数,并说明理由; (2)若 0x  是  f x 的极值点,证明     2ln 1 1f x ax x x     . 【解析】(1)当 1a  时,     21 xf x x e x   ,   2 32 4 0f e     ,  0 1 0f    ,  1 1 0f   ,    2 0 0xf x x e x     ,   0 0f x x   ,∴  f x 在 ,0 上递减,在 0, 上递增,∴  f x 恒有两个零点. (2)∵    1 2xf x e ax a x    ,∵ 0x  是  f x 的极值点,∴  0 1 0 1f a a     ;∴     21 xf x x e x   ,故要证:    1 ln 1 1xx e x x     ,令 1x t  ,即证 1 ln 2tte t t    , 设    ln 2 0xh x ex e x x x      ,即证   0h x  ,      1 11 1 1x xh x e e x e x ex ex            ,令   1xu x e ex   ,   2 1 0xu x e ex    , ∴  u x 在  0, 上递增,又   11 0u e e    ,   22 0eu e e e    , 故   0u x  有唯一的根  0 0,1x  , 0 0 1xe ex  , 当 00 x x  时,    0 0u x h x   ,当 0x x 时,    0 0u x h x   , ∴     0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1ln 2 ln 2x xh x h x ex e x x ex e xex            0 01 1 2 0x x      . 综上得证. (二)、选考题:共 10 分.请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.【极坐标与参数方程】(10 分) 设 A 为椭圆 1C : 2 2 14 24 x y  上任意一点,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2 10 cos 24 0     , B 为 2C 上任意一点. (1)写出 1C 参数方程和 2C 普通方程; (2)求 AB 最大值和最小值. 【解析】(1)由题意可得 1C 的参数方程为: 2cos , 2 6 sin , x y     ( 为参数), 又∵ 2 10 cos 24 0     ,且 2 2 2x y   , cosx   ,∴ 2C 的普通方程为 2 2 10 24 0x y x    , 即 2 25 1x y   . (2)由(1)得,设  2cos ,2 6 sinA   ,圆 2C 的圆心  5,0M , 则    22| | 2cos 5 2 6 sinAM     220cos 20cos 49     2120 cos 542        , ∵  cos 1,1   ,∴当 1cos 2    时, max| | 3 6AM  ; 当 cos 1  时, min| | 3AM  .当 1cos 2    时, max max| | | | 1 3 6 1AB AM    ; 当 cos 1  时, min min| | | | 1 2AB AM   . 23.【选修 4-5:不等式选讲】(10 分) 已知函数 ( ) 2f x x a   , ( ) 4g x x  , a R . (1)解不等式 ( ) ( )f x g x a  ; (2)任意 xR , 2( ) ( )f x g x a  恒成立,求 a 的取值范围. 【解析】(1)不等式    f x g x a  即 2 4x x   ,两边平方得 2 24 4 8 16x x x x     ,解得 1x   ,所以原不等式的解集为 1,  . (2)不等式     2f x g x a  可化为 2 2 4a a x x     , 又    2 4 2 4 6x x x x        ,所以 2 6a a  ,解得 2 3a   , 所以 a 的取值范围为 2,3 .
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