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文档介绍
2020年高考数学(文)金榜题名冲刺卷(一)(解析版)
2020 年高考金榜冲刺卷(一) 数学(文) (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围:高中全部内容. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 2 1 i (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A. i1 B.1 i C.1 i D. i1 【答案】C 【解析】因为 2 1 ii 1 ,所以其共轭复数是1 i ,故选 C. 2.已知集合 |1 10 ,P x N x 2| 6 0 ,Q x R x x 则 P Q 等于( ) A. 1,2,3 B. 2,3 C. 1,2 D. 2 【答案】D 【解析】 2| 6 0 3,2Q x R x x 2P Q .故选 D. 3.设 : 0p b a , 1 1:q a b ,则 p 是 q成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 0b a ,则 1 1 a b 成立,所以 p 是 q的充分条件,若 1 1 a b ,则当 0 0b a , 时成立,不满 足 0b a ,所以 p 不是 q的必要条件,所以 p 是 q的充分不必要条件,故选 A. 4.如图所示的程序框图,运行后输出的结果为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】C 【解析】执行如图程序框图:当 n=1,b=1,当 n=2,b=2,当 n=3,b=4,当 n=4,b=16,当 n=5 则输出 b, 故选 C. 5.设数列 na 前 n 项和为 nS ,已知 3 n nS a n ,则 3 a ( ) A. 9 8 B. 15 8 C.19 8 D. 27 8 【答案】C 【解析】当 2n 时, 1 13 3 ( 1)n n n n na S S a n a n , 整理得 12 3 1n na a ,又 1 1 13 1S a a ,得 1 1a 2 , 2 1 32 3 1 12a a ,得 2 5 4a , 3 2 152 3 1 14a a ,得 3 19 8a ,故选 C. 6.圆 2 2 4 0x y 与圆 2 2 4 4 12 0x y x y 的公共弦长为( ) A. 2 B. 3 C. 2 2 D.3 2 【答案】C 【解析】两圆的方程相减可得,两圆公共弦所在的直线方程为: - +2 0x y ,圆 2 2 4 0x y 的圆心到公 共弦的距离为 0-0+2= = 2 2 d ,所以公共弦长为 22=2 2 - 2 =2 2l .故选 C. 7.已知 为第二象限角, 2sin 4 10 ,则 tan 2 的值为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】由题意可得: 2 2sin sin cos cos sin sin cos4 4 4 2 10 , 则: 1sin cos 5 ,据此有: 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos sin 2tan tan 11 12 2 2 2 2 2,5 5sin cos tan 12 2 2 , 解得: tan 22 或 1tan 2 3 , 为第二象限角,则 tan 02 ,综上可得: tan 2 的值为 2.故选 C. 8.已知 1e , 2e 是夹角为 60 的两个单位向量,若 21 eea , 21 24 eeb ,则 a 与b 的夹角为( ) A.30 B. 60 C.120 D.150 【答案】C 【解析】试题分析:因为 21 eea , 21 24 eeb ,所以 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( 4 2 ) 4 2 2a b e e e e e e e e ,而 0 1 2 1 2 1cos60 2e e e e ,所以 2 2 1 1 2 24 2 2 4 1 2 3a b e e e e ,而 2 2 1 2 1 1 2 22 1 1 1 3a e e e e e e , 2 2 1 2 1 1 2 24 2 16 16 4 16 8 4 2 3b e e e e e e ,所以与 b 的夹角的余弦值为 3 1cos 23 2 3 a b a b ,所以 a 与b 的夹角为120 ,故选 C. 9.已知函数 2 22cos sin 2f x x x ,则( ) A. f x 的最小正周期为 ,最大值为3 B. f x 的最小正周期为 ,最大值为 4 C. f x 的最小正周期为 2π,最大值为3 D. f x 的最小正周期为 2π,最大值为 4 【答案】B 【解析】根据题意有 1 cos2 3 5cos2 1 2 cos22 2 2 xf x x x ,所以函数 f x 的最小正周期为 2 2T ,且最大值为 max 3 5 42 2f x ,故选 B. 10.如图所示的正方形 1 2 3SG G G 中, E F, 分别是 1 2G G , 2 3G G 的中点,现沿 SE ,SF ,EF 把这个正方 形折成一个四面体,使 1G , 2G , 3G 重合为点G ,则有( ) A. SG 平面 EFG B. EG 平面 SEF C. GF 平面 SEF D. SG 平面 SEF 【答案】A 【解析】由题意: SG FG , SG EG , FG EG G , FG EG , 平面 EFG , 所以 SG 平面 EFG 正确,D 不正确;又若 EG 平面 SEF ,则 EG EF ,由平面图形可知显然不成立; 同理 GF 平面 SEF 不正确;故选 A. 11.已知 ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .若 2c , ABC 的面积为 2 2 4 4 a b ,则 ABC 面积的最大值为( ) A. 2 3 B. 3 1 C. 2 2 D. 2 1 【答案】D 【解析】∵ 2c , 2 2 2 2 24 4 4ABC a b a b cS 2 cos 1 sin4 2 ab C ab C . ∴ tan 1 4C C = Þ = ,由余弦定理得 2 2 2 2 24 2 cos 2c a b ab C a b ab 2 2ab ab , ∴ 4 4 2 2 2 2 ab ,∴ 1 1 2sin 4 2 22 2 2ABCS ab C 2 1 .故选 D. 12.若存在唯一的正整数 0x ,使关于 x 的不等式 3 23 5 0x x ax a 成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 1(0, )3 B. 1 5( , ]3 4 C. 1 3( , ]3 2 D. 5 3( , ]4 2 【答案】B 【解析】设 3 2( ) 3 5f x x x ax a ,则存在唯一的正整数 0x ,使得 0( ) 0f x , 设 3 2( ) 3 5g x x x , ( ) ( 1)h x a x ,因为 2( ) 3 6g x x x , 所以当 ( , 0)x 以及 (2, ) 时, ( )g x 为增函数,当 (0,2)x 时, ( )g x 为减函数, 在 0x 处, ( )g x 取得极大值 5,在 2x 处, ( )g x 取得极大值1.而 ( )h x 恒过定点 ( 1,0) , 两个函数图像如图, 要使得存在唯一的正整数 0x ,使得 0( ) 0f x ,只要满足 (1) (1) (2) (2) (3) (3) g h g h g h ,即 1 3 5 2 8 12 5 3 27 27 5 4 a a a ,解得 1 5 3 4a ,故选 B. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 lny x x 在 x e 处的切线的斜率 k . 【答案】2 【解析】因为 lny x x ,所以 ' ln 1y x ,所以它在 x e 处的切线的斜率 ln 1 2k e . 14. 若函数 sin( ) cos a xf x x 在区间 π π( , )6 3 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 . 【答案】[2, ) 【解析】因为函数 sin( ) cos a xf x x 在区间 π π( , )6 3 上单调递增, 所以 ( ) 0f x 在区间 π π( , )6 3 恒成立, 2 2 cos sin ( sin ) ( sin ) sin 1( ) cos cos x x a x x a xf x x x 因为 2cos 0x ,所以 sin 1 0a x 在区间 π π( , )6 3 恒成立,所以 1 sina x , 因为 ( , )6 3x ,所以 1 3 2 3 1sin 22 2 3 sinx x , 所以 a 的取值范围是[2, ) . 15.已知 0, 0, 0a b c ,若点 ,P a b 在直线 2x y c 上,则 4 a b a b c 的最小值为___________. 【答案】 2 2 2 【解析】 ,P a b 在 2x y c 上, 2a b c , 2 0a b c , 4 4 2 2 a b c a b c c c 4 2 12 c c ,设 2 c m c n ,则 2m n , 4 2 4 2 4 2 2 2 m n c c m n m n 2 23 3 2 3 2 2n m m m m n m n , 当 2 22m n ,即 2 2 2c 时,“=”成立, 4 2 1 3 2 2 1 2 2 22 c c , 即 4 a b a b c 的最小值为 2 2 2 ,故答案为 2 2 2 . 16.如图,公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇,且∠QPN =30°,在 A 处有一所中学, AP =160m,假设拖拉 机行驶时,周围 100 米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校受影响, 已知拖拉机的速度为 18 km/h,那么学校受影响的时间为________s. 【答案】24 【解析】学校受到噪音影响。理由如下:作 AH⊥MN 于 H,如图, ∵PA=160m,∠QPN=30∘ ,∴AH= 1 2 PA=80m, 而 80m<100m,∴拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校受到噪音影响, 以点 A 为圆心,100m 为半径作 A 交 MN 于 B. C,如图,∵AH⊥BC, ∴BH=CH,在 Rt△ABH 中,AB=100m,AH=80m, 2 2 60BH AB AH m ,∴BC=2BH=120m, ∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s,∴拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间=120÷5=24(秒), ∴学校受影响的时间为 24 秒。 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)设{ }na 是等比数列 ,其前 n 项的和为 nS ,且 2 2a , 2 13 0S a . (1)求{ }na 的通项公式; (2)若 48n nS a ,求 n 的最小值. 【解析】(1)设 na 的公比为 q,因为 2 13 0S a ,所以 2 12 0a a ,所以 2 1 2aq a , 又 2 2a ,所以 1 1a ,所以 1 1 1 2n n na a q . (2)因为 1 1 2 11 n n n a q S q ,所以 1 12 1 2 3 2 1n n n n nS a ,由 13 2 1 48n ,得 13 2 49n ,即 1 492 3 n ,解得 6n ,所以 n 的最小值为 6. 18.(12 分)如图,在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,已知 1 1AB BB C C 侧面 , 1AB BC , 1 2BB , 1 3BCC . (1)求证: 1C B ABC 平面 ; (2)求点 1B 到平面 1 1ACC A 的距离. 【解析】(1)因为侧面 AB 1 1BB C C , 1BC 侧面 1 1BB C C ,故 1AB BC , 在 1BCC△ 中, 1 1 11, 2, 3BC CC BB BCC , 由余弦定理得: 2 2 2 2 2 1 1 1 12 cos 1 2 2 1 2 cos 33BC BC CC BC CC BCC , 所以 1 3BC = 故 2 2 2 1 1BC BC CC ,所以 1BC BC , 而 1,BC AB B BC ABC 平面 . (2)点 1B 转化为点 B , 1 3 6C ABCV , 1 7 2ACCS , 又 1 1 1C ABC B ACCV V ,所以点 1B 到平面 1 1ACC A 的 距离为 21 7 . 19.(12 分)贵广高速铁路自贵阳北站起,经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州 南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共 6 个站. 记者对广 东省内的 6 个车站的外观进行了满意度调查,得分情况如下: 车站 怀集站 广宁站 肇庆东站 三水南站 佛山西站 广州南站 满意度得分 70 76 72 70 72 x 已知 6 个站的平均得分为 75 分. (1)求广州南站的满意度得分 x,及这 6 个站满意度得分的标准差; (2)从广东省内前 5 个站中,随机地选 2 个站,求恰有 1 个站得分在区间(68,75)中的概率. 【解析】(1)由题意,得 1 (70 76 72 70 72 ) 756 x ,解得 90x . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 6 1 1[( ) ( ) ( ) ] (5 1 3 5 3 15 ) 76 6s x x x x x x . (2)前 5 个站中随机选出的 2 个站,基本事件有 (怀集站,广宁站),(怀集站,肇庆东站),(怀集 站,三水南站),(怀集站,佛山西站),(广宁站,肇庆东站),(广宁站,三水南站),(广宁站, 佛三西站),(肇庆东站,三水南站),(肇庆东站,佛山西站),(三水南站,佛山西站)共 10 种, 这 5 个站中,满意度得分不在区间(68,75)中的只有广宁站. 设 A 表示随机事件“从前 5 个站中,随机地选 2 个站,恰有 1 个站得分在区间(68,75)中”,则 A 中的 基本事件有 4 种,则 4 2( ) 10 5P A . 20.(12 分)已知抛物线 2 2y x ,过点 (1,1)P 分别作斜率为 1k , 2k 的抛物线的动弦 AB 、CD ,设 M 、N 分别为线段 AB 、 CD 的中点. (1)若 P 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程; (2)若 1 2 1k k ,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 【解析】(1)设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,则 2 1 12y x ①, 2 2 22y x ②. ①-②,得 1 2 1 2 1 22y y y y x x .又因为 1,1P 是线段 AB 的中点,所以 1 2 2y y 所以, 2 1 1 2 1 2 1 2= 1y yk x x y y .又直线 AB 过 1,1P ,所以直线 AB 的方程为 y x . (2)依题设 ,M MM x y ,直线 AB 的方程为 11 1y k x ,即 1 11y k x k , 亦即 1 2y k x k ,代入抛物线方程并化简得 2 2 2 1 1 2 22 2 0k x k k x k . 所以, 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2k k k kx x k k ,于是, 1 2 2 1 1 M k kx k , 1 2 1 2 1 22 11 1 1 M M k ky k x k k k kk . 同理, 1 2 2 2 1 N k kx k , 2 1 Ny k .易知 1 2 0k k ,所以直线 MN 的斜率 2 1 2 11 M N M N y y k kk x x k k . 故直线 MN 的方程为 2 1 1 2 2 1 2 1 1 11 1 k k k ky xk k k k ,即 2 1 2 1 11 k ky xk k .此时直线过定点 0,1 . 故直线 MN 恒过定点 0,1 . 21.(12 分)已知 21 xf x ax e x . (1)当 1a 时,讨论函数 f x 的零点个数,并说明理由; (2)若 0x 是 f x 的极值点,证明 2ln 1 1f x ax x x . 【解析】(1)当 1a 时, 21 xf x x e x , 2 32 4 0f e , 0 1 0f , 1 1 0f , 2 0 0xf x x e x , 0 0f x x ,∴ f x 在 ,0 上递减,在 0, 上递增,∴ f x 恒有两个零点. (2)∵ 1 2xf x e ax a x ,∵ 0x 是 f x 的极值点,∴ 0 1 0 1f a a ;∴ 21 xf x x e x ,故要证: 1 ln 1 1xx e x x ,令 1x t ,即证 1 ln 2tte t t , 设 ln 2 0xh x ex e x x x ,即证 0h x , 1 11 1 1x xh x e e x e x ex ex ,令 1xu x e ex , 2 1 0xu x e ex , ∴ u x 在 0, 上递增,又 11 0u e e , 22 0eu e e e , 故 0u x 有唯一的根 0 0,1x , 0 0 1xe ex , 当 00 x x 时, 0 0u x h x ,当 0x x 时, 0 0u x h x , ∴ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1ln 2 ln 2x xh x h x ex e x x ex e xex 0 01 1 2 0x x . 综上得证. (二)、选考题:共 10 分.请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.【极坐标与参数方程】(10 分) 设 A 为椭圆 1C : 2 2 14 24 x y 上任意一点,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2 10 cos 24 0 , B 为 2C 上任意一点. (1)写出 1C 参数方程和 2C 普通方程; (2)求 AB 最大值和最小值. 【解析】(1)由题意可得 1C 的参数方程为: 2cos , 2 6 sin , x y ( 为参数), 又∵ 2 10 cos 24 0 ,且 2 2 2x y , cosx ,∴ 2C 的普通方程为 2 2 10 24 0x y x , 即 2 25 1x y . (2)由(1)得,设 2cos ,2 6 sinA ,圆 2C 的圆心 5,0M , 则 22| | 2cos 5 2 6 sinAM 220cos 20cos 49 2120 cos 542 , ∵ cos 1,1 ,∴当 1cos 2 时, max| | 3 6AM ; 当 cos 1 时, min| | 3AM .当 1cos 2 时, max max| | | | 1 3 6 1AB AM ; 当 cos 1 时, min min| | | | 1 2AB AM . 23.【选修 4-5:不等式选讲】(10 分) 已知函数 ( ) 2f x x a , ( ) 4g x x , a R . (1)解不等式 ( ) ( )f x g x a ; (2)任意 xR , 2( ) ( )f x g x a 恒成立,求 a 的取值范围. 【解析】(1)不等式 f x g x a 即 2 4x x ,两边平方得 2 24 4 8 16x x x x ,解得 1x ,所以原不等式的解集为 1, . (2)不等式 2f x g x a 可化为 2 2 4a a x x , 又 2 4 2 4 6x x x x ,所以 2 6a a ,解得 2 3a , 所以 a 的取值范围为 2,3 .查看更多