2018-2019学年福建省莆田第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年福建省莆田第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省莆田第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接由一元二次不等式化简集合，再与集合合并，则答案可求.‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题.‎ ‎2．复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】先化复数为代数形式，再根据几何意义确定点所在象限.‎ ‎【详解】‎ 对应点为 所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查复数几何意义，考查基本分析计算能力，属基础题.‎ ‎3．若命题p：，，则是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用全称命题的否定是特称命题来判断.‎ ‎【详解】‎ 解：命题p：，，则：，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题的否定，注意特称命题的否定要变全称命题，并且要否定结论，是基础题.‎ ‎4．在一组数据为，，…，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据相关系数的概念即可作出判断.‎ ‎【详解】‎ ‎∵这组样本数据的相关系数为，‎ ‎∴这一组数据，，…线性相关，且是负相关，‎ ‎∴ 可排除D，B，C，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题．‎ ‎5．某运动队有男运动员4名，女运动员3名，若选派2人外出参加比赛，且至少有1名女运动员入选，则不同的选法共有（ ）‎ A．6种 B．12种 C．15种 D．21种 ‎【答案】C ‎【解析】先求出所有的方法数，再求出没有女生入选的方法数，相减可得至少有1位女生入选的方法数.‎ ‎【详解】‎ 解：从3位女生，4位男生中选2人参加比赛，所有的方法有 种， 其中没有女生入选的方法有种， 故至少有1位女生入选的方法有21−6＝15种. 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合的简单应用，属于中档题.‎ ‎6．如图是某陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，代入体积公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 解：几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥， 其中圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，‎ 所以几何体的体积. 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了常见几何体的三视图与体积的计算，属于基础题.‎ ‎7．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则异面直线与所成的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以就是异面直线PB与AC所成的角.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意：底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，‎ ‎ . ∴PBCM是平行四边形， ∴PB∥CM， 所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角. 设PA＝AB＝，在三角形ACM中， ∴三角形ACM是等边三角形. 所以∠ACM等于60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°. 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法.属于基础题.‎ ‎8．设是平面内的两条不同直线，是平面内两条相交直线，则的一个充分不必要条件是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：A．不能得出，所以本题条件是的不充分条件；B．，当时，不一定有故本命题正确；C．不能得出，故不满足充分条件；D．不能得出，故不满足充分条件；故选B.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的方法.‎ ‎9．函数的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以当时，，故排除A、D选项，‎ 而，‎ 所以 即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.‎ ‎10．某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为（ ）‎ A．上、下午生产情况均正常 B．上午生产情况异常，下午生产情况正常 C．上、下午生产情况均异常 D．上午生产情况正常，下午生产情况异常 ‎【答案】D ‎【解析】根据生产的零件外直径符合正态分布，根据原则，写出零件大多数直径所在的范围，把所得的范围，同两个零件的外直径进行比较，得到结论.‎ ‎【详解】‎ 解：∵零件外直径， ∴根据原则，在与之外时为异常. ∵上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，‎ ‎， ∴下午生产的产品异常， 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查原则，属于基础题.‎ ‎11．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕着C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设CP=x，△CPD的面积为f（x）．求f（x）的最大值（　　）．‎ A．　　　 B． 2‎ C．3 　　　 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：利用三角形的构成条件，建立不等式，可求x的取值范围；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值．解：（1）由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x，根据三角形的构成条件可得x+6-x＞2, 2+6-x＞x, 2+x＞6-x，解得2＜x＜4；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，即f（x）= ‎ 当且仅当4-x=-2+x，即x=3时，f（x）的最大值为,故选A.‎ ‎【考点】函数类型 点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式，‎ ‎12．如图，在正方形中，点E，F分别为边，的中点，将、分别沿、所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误是（ ）‎ A．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为 B．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为 C．A、C两点都不可能重合 D．存在某个位置，使得直线垂直于直线 ‎【答案】D ‎【解析】在A中，可找到当时，直线AF与直线CE垂直；‎ 在B中，由选项A可得线AF与直线CE所成的角可以从到，自然可取到；‎ 在C中，若A与C重合，则，推出矛盾；‎ 在D中，若AB⊥CD，可推出则，矛盾.‎ ‎【详解】‎ 解：将DE平移与BF重合，如图：‎ 在A中，若，又，则面，则，即当时，直线AF与直线CE垂直，故A正确； 在B中，由选项A可得线AF与直线CE所成的角可以从到，必然会存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；‎ 在C中，若A与C重合，则，不符合题意，则A与C恒不重合，故C正确； 在D中，，又CB⊥CD，则CD⊥面ACB，所以AC⊥CD，即，又，则，矛盾，故D不成立； 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.‎ 二、填空题 ‎13．的展开式中的系数为______.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，求出的值，即可求得的系数.‎ ‎【详解】‎ 解：由于的展开式的通项公式为，‎ 令求得的系数等于 . 故答案为 40.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题.‎ ‎14．随机变量的分布列如下表：‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b 且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由及概率和为1，解得，再利用方差公式计算.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，又， 所以，‎ ‎. 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的数学方差的求法，是基础题，解题时要认真审题.‎ ‎15．某次考试结束后，甲、乙、丙三位同学讨论考试情况.甲说：“我的成绩一定比丙高”.乙说：“你们的成绩都没有我高”.丙说：“你们的成绩都比我高”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，则这三人中成绩最高的是______.‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】分别假设说对的是甲，乙，丙，由此分析三个人的话，能求出结果.‎ ‎【详解】‎ 若甲对，则乙丙可能都对，可能都错，可能丙对，乙错，符合；‎ 若乙对，则甲丙可能都对，可能都错，不符；‎ 若丙对，则甲乙可能都对，可能甲对，乙错，符合，‎ 综上，甲丙对，乙错，则这三人中成绩最高的是甲.‎ 故答案为：甲.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查合情推理的问题，考查分类与讨论思想，是基础题.‎ ‎16．已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.‎ 详解：设球的半径为R,所以 设AB=x,则，由余弦定理得 设底面△ABC的外接圆的半径为r,则 所以PA=.‎ 所以三棱锥的体积 ‎=.‎ 当且仅当x=时取等.‎ 故答案为 点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.‎ 三、解答题 ‎17．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”，否则称其“非微信控”，调查结果如下：‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（1）根据以上数据，能否有的把握认为“微信控”与“性别”有关？‎ ‎（2）现从采访的女性用户中按分层抽样的方法选出10人，再从中随机抽取3人赠送礼品，求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.‎ 参考数据：‎ P（）‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）没有；（2）‎ ‎【解析】（1）根据列联表及公式计算出，与比较大小即可得出答案；‎ ‎（2）分成抽样可得“微信控”有6人，“非微信控”有4人，由古典概型的概率公式可得所求概率.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得 由于，‎ 故没有的把握认为“微信控”与“性别”有关.‎ ‎（2）在所选出的10人中“微信控”有6人，“非微信控”有4人.‎ 记事件A表示“抽取3人中恰有2人为“微信控”，‎ 则，‎ 所以，抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验统计案例，考查古典概型的概率，是基础题.‎ ‎18．如图所示的几何，底为菱形，，.平面底面，，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）推导出，从而平面，进而.再由，得平面，推导出，从而平面，由此能证明平面平面； （2）取中点G，从而平面，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知，‎ 又因为平面底面，所以平面，‎ 从而.‎ 因为，所以平面，‎ 易得，，，‎ 所以，故.‎ 又，所以平面.‎ 又平面，所以平面平面；‎ ‎（2）取中点G，，相交于点O，连结，易证平面，‎ 故、、两两垂直，以O为坐标原点，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，，.‎ 由（1）可得平面的法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 令，得，‎ 所以.‎ 从而，‎ 故二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.‎ ‎19．甲、乙两队进行防溺水专题知识竞赛，每队3人，首轮比赛每人一道必答题，答对者则为本队得1分，答错或不答得0分，己知甲队每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率均为.设每人回答正确与否互不影响，用表示首轮比赛结束后甲队的总得分.‎ ‎（1）求随机变量的分布列；‎ ‎（2）求在首轮比赛结束后甲队和乙队得分之和为2的条件下，甲队比乙队得分高的概率.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）的所有可能取值为0、1、2、3，求出对应的概率即可；‎ ‎（2）先求出甲、乙两队得分之和为2分的概率，再通过条件概率的计算公式求出甲队比乙队得分高的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的所有可能取值为0、1、2、3，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（2）记事件A表示“甲、乙两队得分之和为2分”，事件B表示“甲队比乙队得分高”，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，在首轮比赛结束后甲队和乙队得分之和为2的条件下，甲队比乙队得分高的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列，考查条件概率的求解，是中档题.‎ ‎20．如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台的上端点P处分别向水池内的三个不同方向建水滑道，，，水滑道的下端点 在同一条直线上，，平分，假设水滑梯的滑道可以看成线段，均在过C且与垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求.‎ ‎（1）求滑梯的高的最大值；‎ ‎（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值.‎ ‎【答案】（1）m（2）562.5.‎ ‎【解析】（1）分别设出CB、CA、PC的长，分别表示出面积，再利用不等关系求解即可；‎ ‎（2）利用已知条件，求得体积是关于x的函数，再利用导函数判别单调性求得最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设.‎ 由题意知，‎ 由及平分得，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 所以滑道的高的最大值为m.‎ ‎（2）因为滑道的坡度为，所以.‎ 由（1）知，即.‎ 又，所以.‎ 所以三棱锥P-ABC的体积 ‎， ‎ 所以，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 所以当时，，‎ 所以该滑梯装置的体积最小为562.5m³.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解三角形和立体几何应用实际问题，熟悉题意，仔细分析，结合导函数的应用求最值是解题的关键，属于中档题目.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若只有一个极值点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入，可得等价于，即，令，求出，可得的最小值，可得证；‎ ‎（2）分，三种情况讨论，分别对求导，其中又分①若②③三种情况，利用函数的零点存在定理可得a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，等价于，即；‎ 设函数，则，‎ 当时，；当时，．‎ 所以在上单调递减，在单调递增．‎ 故为的最小值，‎ 而，故，即．‎ ‎（2），‎ 设函数 ，则；‎ ‎（i）当时，，在上单调递增，‎ 又，取b满足且，则，‎ 故在上有唯一一个零点，‎ 且当时，，时，，‎ 由于，所以是的唯一极值点；‎ ‎（ii）当时，在上单调递增，无极值点；‎ ‎（iii）当时，若时，；若时，．‎ 所以在上单调递减，在单调递增．‎ 故为的最小值，‎ ‎①若时，由于，故只有一个零点，所以时，‎ 因此在上单调递增，故不存在极值；‎ ‎②若时，由于，即，所以，‎ 因此在上单调递增，故不存在极值；‎ ‎③若时，，即．‎ 又，且，‎ 而由（1）知，所以，‎ 取c满足，则 故在有唯一一个零点，在有唯一一个零点；‎ 且当时，当时，，当时，‎ 由于，故在处取得极小值，在处取得极大值，‎ 即在上有两个极值点．‎ 综上，只有一个极值点时，的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用导数研究函数的极值，及函数的零点存在定理，注意分类讨论思想的运用.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设M，N分别为，上的动点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2）‎ ‎【解析】（1）参数方程消参即可得普通方程，极坐标方程利用变形可得普通方程；‎ ‎（2）设，，利用距离公式求出，再求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得，‎ 所以的直角坐标方程，‎ 由得 所以的直角坐标方程为；‎ ‎（2）设，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由知，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程，极坐标方程化为普通方程，考查参数方程的应用，对于最值问题应用参数方程来解决比较方便，是基础题.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知，且，证明；‎ ‎（2）已知，且，证明.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）由展开利用基本不等式证明即可；‎ ‎（2）由 ，结合条件即可得解.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）因为 ‎ ‎，‎ 当时等号成立.‎ ‎（2）因为 ，‎ 又因为，所以，，，∴.‎ 当时等号成立，即原不等式成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.‎