【数学】2019届一轮复习人教A版客观“瓶颈”题突破学案

【数学】2019届一轮复习人教A版客观“瓶颈”题突破学案

‎ 第三篇 方法应用篇 ‎“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个新台阶？全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.‎ 热点一 函数的图象、性质及其应用 例1【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下学期第三次联考】若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④.‎ 其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号）‎ ‎【答案】① ④‎ 图① 图② 图③ 图④ :学 ]‎ 例2【2018届江西省南昌市高三第一次模拟】设函数，若的最大值不超过1，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，，‎ 绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，‎ 据此排除B选项； 学 ‎ ‎【名师点睛】1.根据函数的概念、表示及性质求函数值的策略 ‎(1)对于分段函数的求值(解不等式)问题，依据条件准确地找准利用哪一段求解，不明确的要分情况讨论.‎ ‎(2)对于利用函数性质求值的问题，依据条件找到该函数满足的奇偶性、周期性、对称性等性质，利用这些性质将待求值调整到已知区间上求值.‎ ‎2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略 ‎(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.‎ ‎(2)熟练掌握确定与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.‎ 热点二 函数与导数的综合问题 例3【2018届甘肃省兰州市高三一诊】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，，，则，，之间的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C[ : xx ]‎ 例4【2018届安徽省芜湖市高三上学期期末考试（一模）】已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当相切时，设切点为 ，由 得 再由图知方程的三个不同的实数根满足 ‎ ，因此，即的取值范围是，选B.‎ ‎【名师点睛】1.利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等.‎ ‎2.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎3.涉及导数的几何意义，一定分清是在点P(x0，y0)的切线，而不是过点P(x0，y0)的切线斜率；当点P不是切点时，首先要设法求出切点的坐标.学 ‎ ‎4.利用导数解不等式问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法、放缩法等.‎ ‎5.线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意 前面的系数为负时，截距越大， 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ 热点三 直线与圆的位置关系 例5【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．‎ ‎【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．‎ 例6【2018届天津市耀华中学高三12月月考】已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 故选．‎ ‎【名师点睛】直线与圆的位置关系要抓住两点：‎ ‎(1)抓住直线、圆的几何特征，作出正确示意图，数形结合.‎ ‎(2)灵活利用圆的几何性质、寻找突破口，减少运算量.‎ 热点四 圆锥曲线及其性质[ : xx ]‎ 例7【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 例8【2018届河北省定州中学高三（承智班）下学期开学】已知抛物线的焦点为，点 是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 ，若，则_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【名师点睛】1.涉及与圆锥曲线方程相关问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算.‎ ‎2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a，b，c满足的等量关系(不等关系)，然后把b用a，c表示，求的值(范围). 学 ‎ 热点五 立体几何球的组合体 例9【2018届江西省金溪一中、余江一中等五市八校高三上学期第一次联考】已知为球的直径，，是球面上两点且，.若球的表面积为，则棱锥的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 如图，由题意球的表面积为，可得球的半径为，‎ ‎ ‎ 例10【2018届广东省广州市广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学高三上学期期中】如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，∵为中点，，∴，‎ ‎∵平面平面，平面平面，∴平面，‎ ‎∴是三棱锥的高，，∴，，‎ 在中，，，∴，，‎ ‎[ :学 XX ]‎ ‎【名师点睛】1.有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 学 ‎ 热点六 线性规划及基本不等式的应用 例11【2018届云南省昆明市第一中学高三第六次月考】已知函数，若两个正数，满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可得，，‎ 即对恒成立，所以在实数上单调递增.‎ 因为，由 可得，‎ 由题意可得，画出、的可行域，‎ 则可看作区域内点与定点的斜率.‎ 直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，‎ 故选C．‎ 例12【2018届广东省珠海市高三3月质量检测】在中，角、、所对边的边长分别为、、，若，，则面积的最大值为__________．[ :学 XX ]‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】1.解决条件最值的思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解；②对条件变形，进行“1”的代换求目标函数的最值.‎ ‎2.有些题目不具备直接用基本不等式的条件时，可通过拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换等手段，使之能运用基本不等式进行求解.‎ ‎3.‎ 线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ 热点七 三角变换与解三角形 例13【2018届辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟】函数在区间（）上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 例14【2018届江西省新余市高三上学期期末】在中，，，的对边分别为，，，且满足，，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵A+B+C=π，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ∴，. ‎ ‎∵，由余弦定理可得：，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）, ∴．∴S△ABC． ‎ 故答案为：． . ‎ ‎【名师点睛】1.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ ‎2. 解三角形问题，需注意应用正弦定理、余弦定理进行边角互化，注意应用和差倍半的三角函数公式，灵活的变形．‎ ‎【反思提升】纵观近几年高考试卷中第10,11,12,15,16题，命制比较灵活，所涉及的知识内容往往有函数、导数、三角、数列、不等式、立体几何、解析几何、算法、推理等，题目的难度基本维持在中档或略难.复习过程中应立足于全面、灵活、熟练地掌握基础知识，提高准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.适当关注命题组改革实验的一些创新题型，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，无疑会对热衷于“模式化”解题的同学“当头一棒”.‎