高中人教a版数学必修4：第8课时 诱导公式五、六 word版含解析

高中人教a版数学必修4：第8课时 诱导公式五、六 word版含解析

第 8 课时 诱导公式五、六 课时目标 1.理解公式五、六的推导． 2．运用所学的四组公式正确进行求值化简、证明． 识记强化 公式五：sin π 2 －α ＝cosα，cos π 2 －α ＝sinα； 公式六：sin π 2 ＋α ＝cosα，cos π 2 ＋α ＝－sinα. 课时作业 一、选择题 1．已知 cosx＝1 5 ，且 x 是第四象限角，那么 cos 3π 2 －x ＝( ) A. 5 5 B．－1 5 C．－4 5 D.2 6 5 答案：D 解析：∵x 是第四象限角，cosx＝1 5 ，∴sinx＝－ 1－cos2x＝－2 6 5 .∴cos 3π 2 －x ＝－sinx ＝2 6 5 . 2．已知 sin40°＝a，则 cos50°等于( ) A．±a B．－a C．a D. 1－a2 答案：C 3．下面诱导公式使用正确的是( ) A．sin θ－π 2 ＝cosθ B．cos 3π 2 ＋θ ＝－sinθ C．sin 3π 2 －θ ＝－cosθ D．cos θ－π 2 ＝－sinθ 答案：C 4．若 sin(π 2 ＋α)＋cos α－π 2 ＝7 5 ，则 sin 3π 2 ＋α ＋cos α－3π 2 等于( ) A．－3 5 B.4 5 C．－7 5 D.7 5 答案：C 解析：由已知得 cosα＋sinα＝7 5 ，∴sin 3π 2 ＋α ＋cos α－3π 2 ＝－cosα－sinα＝－7 5. 5．若sinθ＋cosθ sinθ－cosθ ＝2，则 sin(θ－5π)sin 3π 2 －θ 等于( ) A.4 3 B．± 3 10 C. 3 10 D．－ 3 10 答案：C 解析：由sinθ＋cosθ sinθ－cosθ ＝2，可得 tanθ＝3，∴sin(θ－5π)sin 3π 2 －θ ＝(－sinθ)(－cosθ) ＝ sinθcosθ sin2θ＋cos2θ ＝ tanθ tan2θ＋1 ＝ 3 10. 6．已知 cos π 2 ＋φ ＝ 3 2 ，且|φ|<π 2 ，则 tanφ等于( ) A．－ 3 3 B. 3 3 C．－ 3 D. 3 答案：C 解析：由 cos π 2 ＋φ ＝－sinφ＝ 3 2 ，得 sinφ＝－ 3 2 .又|φ|<π 2 ，∴φ＝－π 3 ，∴tanφ＝－ 3. 二、填空题 7．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°＝________. 答案：2 解析：原式＝－sin1200°cos(210°＋3×360°)－cos1020°sin1050°＋tan(225°＋2×360°) ＝－sin(120°＋3×360°)cos210°－cos(－60°＋3×360°) sin(－30°＋3×360°)＋tan225° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(－60°) sin(－30°)＋tan(180°＋45°) ＝－ 3 2 － 3 2 －1 2 －1 2 ＋1＝2. 8．已知 tan(3π＋α)＝2，则 sinα－3π＋cosπ－α＋sin π 2 －α －2cos π 2 ＋α －sin－α＋cosπ＋α ＝________. 答案：2 解析：由 tan(3π＋α)＝2，得 tanα＝2，所以原式＝－sinα＋－cosα＋cosα－2－sinα sinα－cosα ＝ sinα sinα－cosα ＝ tanα tanα－1 ＝ 2 2－1 ＝2. 9．已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0 时，f(x)＝x2－2asinπx 2 ，若 f(3)＝6，则 a＝________. 答案：15 2 解析：f(x)为奇函数，所以 f(－3)＝－6，即 f(－3)＝9－2asin－3π 2 ＝9＋2asin3π 2 ＝9－2a ＝－6，∴a＝15 2 . 三、解答题 10．已知 f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π －tan－α－πsin－π－α . (1)化简 f(α)； (2)若α是第三象限角，且 cos α－3π 2 ＝1 5 ，求 f(α)的值． 解：(1)f(α)＝sinαcosα－tanα tanαsinα ＝－cosα. (2)∵cos α－3π 2 ＝－sinα，∴sinα＝－1 5. 又α是第三象限角，∴cosα＝－ 52－12 5 ＝－2 6 5 ， ∴f(α)＝2 6 5 . 11．(1)设 f(α) ＝ 2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋cos 3π 2 ＋α －sin2 π 2 ＋α ， 求 f －23π 6 的值． (2)化简：sin nπ＋2 3π ·cos nπ＋4 3π (n∈Z)． 解：(1)∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα 1＋sin2α＋sinα－cos2α ＝2sinαcosα＋cosα 2sin2α＋sinα ＝cosα1＋2sinα sinα1＋2sinα ＝ 1 tanα ， ∴f －23π 6 ＝ 1 tan －23π 6 ＝ 1 tan －4π＋π 6 ＝ 1 tanπ 6 ＝ 3. (2)当 n＝2k(k∈Z)时， 原式＝sin 2kπ＋2 3π ·cos 2kπ＋4 3π ＝sin2 3π·cos4 3π ＝sinπ 3· －cosπ 3 ＝ 3 2 × －1 2 ＝－ 3 4 . 当 n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝sin 2k＋1π＋2 3π · cos 2k＋1π＋4 3π ＝sin π＋2 3π ·cos π＋4 3π ＝－sin2 3π·cosπ 3 ＝－sinπ 3·cosπ 3 ＝－ 3 2 ×1 2 ＝－ 3 4 . 综上，原式＝－ 3 4 . 能力提升 12．若 f(sinx)＝3－cos2x，则 f(cosx)等于( ) A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 答案：C 解析：f(cosx)＝f sin π 2 －x ＝3－cos2 π 2 －x ＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x. 13．已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角，求证：cos π 4 －A 2 ＝sin π 4 ＋A 2 ＝cosπ 4 －B＋C 2 . 证明：cos π 4 －A 2 ＝sin π 2 － π 4 －A 2 ＝sin π 4 ＋A 2 . 又因为在△ABC 中，A＋B＋C＝π， 所以A 2 ＝π 2 －B＋C 2 ，所以B＋C 2 ＝π 2 －A 2. 所以 cos π 4 －B＋C 2 ＝cos π 4 － π 2 －A 2 ＝cos －π 4 ＋A 2 ＝cos π 4 －A 2 . 所以 cos π 4 －A 2 ＝sin π 4 ＋A 2 ＝cos π 4 －B＋C 2 .