2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-6-1直线与圆

2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-6-1直线与圆

一、选择题 ‎1．[2015·湖南岳阳一模]已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2，则直线l的方程为(　　)‎ A．x＝－1或4x＋3y－4＝0‎ B．x＝－1或4x－3y＋4＝0‎ C．x＝1或4x－3y＋4＝0‎ D．x＝1或4x＋3y－4＝0‎ 答案　B 解析　当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.‎ ‎2．[2016·重庆测试]已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝(　　)‎ A．－ B．± C．－ D．± 答案　D 解析　本题考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．依题意圆心C的坐标为(1,2)，则圆心C到y轴的距离为1，由圆的对称性可知，若直线2x－y＋b＝0分得圆C内部的一部分面积也为S，则圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离等于1，于是有＝1，解得b＝±，故选D.‎ ‎3．[2016·南昌一模]已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q 在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y00，当点位于射线BN(不包括端点B)上时，kOM<－，所以的取值范围是∪(0，＋∞)，故选D.‎ ‎4．[2016·金版原创四]倾斜角互补的直线l1：m1x－y＋1－m1＝0，l2：m2x－y＋1－m2＝0分别被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长之比为，则m1m2＝(　　)‎ A．－9或－ B．9或 C．－9 D．－ 答案　A 解析　本题考查直线与圆的位置关系．由题可知两条直线斜率分别为m1，m2，又两直线的倾斜角互补，所以斜率互为相反数，即m1＋m2＝0，被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长之比为＝，化简得3m－10m1＋3＝0，解得m1＝或3，所以m1m2＝－m＝－或－9，故选A.‎ ‎5．[2016·广东综合测试]已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是原点，且有|＋|≥||，则k的取值范围是(　　)‎ A．(，＋∞) B．[，＋∞)‎ C．[，2) D．[，2]‎ 答案　C 解析　本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB的中点为D，则OD⊥AB，因为|＋|≥||，所以|2|≥||，||≤2||，又因为||2＋||2＝4，所以||≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点，所以||<2，所以1≤<2，解得≤k<2，故选C.‎ ‎6．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为(　　)‎ A．1 B．－5‎ C．1或－5 D．5‎ 答案　C 解析　解法一：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，圆心M(a,‎ ‎0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，‎ 可知圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝－1，(S△ABC)min＝×2×＝3－，‎ 解得a＝1或－5.‎ 解法二：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，设C的坐标为(a＋cosθ，sinθ)，C点到直线AB：x－y＋2＝0的距离为 d＝＝，‎ ‎△ABC的面积为 S△ABC＝×2× ‎＝，‎ 当a≥0时，a＋2－＝3－，解得a＝1；‎ 当－2≤a<0时，|a＋2－|＝3－，无解；‎ 当a<－2时，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5.‎ 故a＝1或－5.‎ 解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠2)，圆心M(a,0)到直线l′的距离d＝1，即＝1，解得m＝±－a，‎ 两平行线l，l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离，‎ 即＝，‎ ‎(S△ABC)min＝×2×＝|±－a－2|.‎ 当a≥0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝1.‎ 当a<0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝－5.‎ 故a＝1或－5.‎ 二、填空题 ‎7．[2015·福建厦门一模]已知a>0，b>0，若直线l1：x＋a2y＋2＝0与直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0互相垂直，则ab的最小值是________．‎ 答案　2‎ 解析　依题意可得，1×(a2＋1)＋a2·(－b)＝0，a2－a2b＋1＝0，∴b＝，∴ab＝＝a＋≥2.‎ 当且仅当a＝，即a＝1，b＝2时，ab取到最小值2.‎ ‎8．[2015·云南统考]已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________.‎ 答案　－7‎ 解析　由题意得f(1)＝－2⇒a－2b＝－3，‎ 又∵f′(x)＝3x2＋a，‎ ‎∴f(x)的图象在点P(1，－2)处的切线方程为 y＋2＝(3＋a)(x－1)，‎ 即(3＋a)x－y－a－5＝0，‎ ‎∴＝⇒a＝－，‎ ‎∴b＝，∴3a＋2b＝－7.‎ ‎9．[2015·山东青岛质检]在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点．若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．‎ 答案　(3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2)‎ 解析　由题意得圆心C(m,2)，半径r＝4.因为点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，所以32＋0－6m－0＋m2－28<0，解得3－2，‎ 解得k<－或k>1.‎ ‎11．[2016·江西九江三模]已知点P是圆F1：(x＋)2＋y2＝16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的中垂线与PF1交于M点．‎ ‎(1)求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设轨迹C与x轴的左、右两个交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得|HK|＝|KQ|，连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．‎ 解　(1)由题意得，F1(－，0)，F2(，0)，‎ 圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，‎ 从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4>|F1F2|＝2，‎ ‎∴点M的轨迹是以F1，F2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a＝4，焦距2c＝2，‎ 则短半轴长b＝＝＝1，‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)如图，设K(x0，y0)，则＋y＝1.‎ ‎∵|HK|＝|KQ|，‎ ‎∴Q(x0,2y0)．‎ ‎∴|OQ|＝＝2，‎ ‎∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上．‎ 又A(－2,0)，‎ ‎∴直线AQ的方程为y＝(x＋2)．‎ 令x＝2，得D.‎ 又B(2,0)，N为DB的中点，‎ ‎∴N.‎ ‎∴＝(x0,2y0)，＝.‎ ‎∴·＝x0(x0－2)＋2y0· ‎＝x0(x0－2)＋ ‎＝x0(x0－2)＋ ‎＝x0(x0－2)＋x0(2－x0)＝0.‎ ‎∴⊥.‎ ‎∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．‎ ‎12．[2015·福建高考]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ 解　(1)由已知得，‎ 解得 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．‎ 由 得(m2＋2)y2－2my－3＝0，‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝－，‎ 从而y0＝.‎ 所以|GH|2＝2＋y＝(my0＋)2＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.‎ ＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，‎ 故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝‎ eq f(17m2＋2,16(m2＋2))>0，‎ 所以|GH|>.‎ 故点G在以AB为直径的圆外．‎