2021版高考数学一轮复习第七章算法、复数、推理与证明7-3合情推理与演绎推理课件理北师大版

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第三节　 合情推理与演绎推理 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 合情推理 (1) 归纳推理 : ① 定义 : 根据一类事物中 _____ 事物具有某种属性 , 推断该类事物中 _______ 事物 都有这种属性 , 我们将这种推理方式称为归纳推理 . ② 特点 : 由 _____ 到整体、由 _____ 到一般的推理 . 部分 每一个 部分 个别 (2) 类比推理 : ① 定义 : 由于两类不同对象具有某些 _____ 的特征 , 在此基础上 , 根据一类对象的其 他特征 , 推断另一类对象也具有 _____ 的其他特征 , 我们把这种推理过程称为类比 推理 . ② 特点 : 类比推理是 _____ 事物特征之间的推理 . (3) 合情推理 : 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 , 合情推理是根据实验和实践的结果、 个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论 ( 定义、公理、定理等 ), 推测出某 些结果的推理方式 . 类似 类似 两类 2. 演绎推理 (1) 演绎推理是根据已知的事实和正确的结论 , 按照严格的逻辑法则得到新结论 的推理过程 . (2)“ 三段论”是演绎推理的一般模式 , 包括 : ① 大前提 —— 已知的 _________; ② 小前提 —— 所研究的 _________; ③ 结论 —— 根据一般原理 , 对 _________ 做出的判断 . 一般原理 特殊情况 特殊情况 【知识点辨析】 　 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) 　 (1) 归纳推理和类比推理的结论是正确的 . ( 　　 ) (2) 归纳推理和类比推理都是从特殊到一般的推理 . ( 　　 ) (3) 在演绎推理中 , 只要符合演绎推理的形式 , 结论就一定正确 . ( 　　 ) 提示 : (1) × . 合情推理得到的结论不一定正确 , 需要进行严格的证明 . (2) × . 类比推理是由特殊到特殊的推理 . (3) × . 小前提或大前提错误 , 也会得到错误的结论 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 忽视几何体的类比特征 考点一、 T1 2 忽视从平面到空间的类比特征 考点一、 T2 3 忽视式子中 n 的系数关于 k 的变化特征 考点三、角度 2 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-2P3 例 1 改编 ) 观察下列各式 :3 2 -1=8,7 2 -1=48,11 2 -1=120,15 2 -1=224, …… 据此规律 . 所得的结果都是 8 的倍数 . 由此推测可得 ( 　　 ) A. 其中包含等式 :103 2 -1=10 608 B. 其中包含等式 :85 2 -1=7 224 C. 其中包含等式 :53 2 -1=2 808 D. 其中包含等式 :33 2 -1=1 088 【解析】 选 A. 由已知可得 3 2 -1=(4 × 1-1) 2 -1=8, 7 2 -1=(4 × 2-1) 2 -1=48, 11 2 -1=(4 × 3-1) 2 -1=120, 15 2 -1=(4 × 4-1) 2 -1=224,…, 归纳可得 :(4n-1) 2 -1 是 8 的倍数 , 由于 103=4 × 26-1, 故推测中包含等式 :103 2 -1=10 608. 2.( 选修 2-2P7 习 题 1-1T2 改编 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 1 =1,S n =n 2 a n , 试 归纳猜想出 S n 的表达式为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.S n = B.S n = C.S n = D.S n = 【解析】 选 A. 当 n≥2 时 ,S n =n 2 a n =n 2 (S n -S n-1 ), 所以 S n = S n-1 ,S 1 =a 1 =1, 则 S 2 = ,S 3 = ,S 4 = . 所以猜想得 S n = . 3.( 选修 2-2P7 习题 1-1T4 改编 ) 古印度“汉诺塔问 题” : 一块黄铜平板上装着 A,B,C 三根金铜石细柱 , 其中细柱 A 上套着 n 个大小不等的环形金盘 , 大的 在下、小的在上 . 将这些盘子全部转移到另一根柱子上 , 移动规则如下 : 一次只能 将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上 , 不允许将较大盘子放在较小盘子 上面 . 若 A 柱上现有 3 个金盘 ( 如图 ), 将 A 柱上的金盘全部移到 B 柱上 , 至少需要移 动次数为 ( 　　 ) A.5 　 B.7 　　 C.9 　　 D.11 【解析】 选 B. 用 a n 表示将 n 个盘子从一根柱子移到另一根柱子所必须移动的次数 , 显然 a 0 =0,a 1 =1. 对于 n 个盘子 , 先把柱子 A 上的 n-1 个盘子套到柱子 C 上而且保持相对位置不变 , 这需要 a n-1 次 , 再把柱子 A 上的最大的盘子套到 B 上 , 用 1 次 , 然后再把 C 上的盘子按要求套到 B 上 , 还需用 a n-1 次 , 所以有 a n =2a n-1 +1, 即 a n +1=2(a n-1 +1), 数列 {a n +1} 是等比数列 , 首项为 a 1 +1=2, 公比为 2, 所以 a n +1=2 n , 即 a n =2 n -1, 所以 a 3 =2 3 -1=7, 即将 A 柱上的金盘全部移到 B 柱上 , 至少需要移动次数为 7. 4.( 选修 2-2P5 例 3 改编 ) 在 Rt△ABC 中 , 若 ∠C=90°,AC=b,BC=a, 则 △ABC 外接圆半 径 r= . 运用类比方法 , 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b,c, 则其外接球的半径 R= 　　　　 .  【解析】 通过类比可得 R= . 证明 : 作一个在同一个顶点处棱长分别为 a,b,c 的长方体 , 则这个长方体的体对角线的长度是 , 故这个长方体的 外接球的半径是 , 这也是所求的三棱锥的外接球的半径 . 答案 :