江苏省宿迁市2013届高三一模统测数学试题

江苏省宿迁市2013届高三一模统测数学试题

江苏省宿迁市2013届高三一模统测 数 学 ‎ 数学Ⅰ 必做题部分 注意事项：‎ 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的相应位置．‎ ‎3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．‎ ‎4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．‎ 参考公式：‎ 样本数据的方差，其中.‎ 一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．‎ ‎1．若集合，，则＝ ▲ .‎ ‎2．若复数满足，其中是虚数单位，则＝ ▲ .‎ I←1‎ S←1‎ While S24‎ I←I＋1‎ S←S×I End While Print I ‎　 第5题图 ‎3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是 ▲ ．‎ ‎4．已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，，125，若 ‎ 其平均成绩是124，则这组数据的方差是 ▲ .‎ ‎5．如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ▲ ．‎ ‎6．已知点在圆上运动，则到直线 ‎ 的距离的最小值为 ▲ .‎ ‎7. 过点与函数（是自然对数的底数）图象相切的直线方程是 ▲ .‎ ‎8．连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则 B1‎ A1‎ C B A C1‎ 第9题图 出现向上的点数和大于9的概率是 ▲ .‎ ‎9．如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长．‎ 若侧面水平放置时，液面恰好过 的中点．当底面水平放置时，液面高度为 ▲ ．‎ ‎10．已知，若，则的值为 ▲ .‎ ‎11．若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列；类比上述性质，若数列是等差数列，则当___ ▲__时，数列也是等差数列.‎ ‎12．已知双曲线，分别是双曲线虚轴的上、下端点,分 别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值 为 ▲ .‎ ‎13．设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围 是 ▲ .‎ ‎14.已知函数，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是 ▲ .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知分别是的三个内角的对边，若向量，‎ ‎，且∥.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)求函数的值域.‎ B A C D A1‎ B1‎ C1‎ 第16题图 ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，,为的中点.‎ ‎(1) 求证：平面；‎ ‎(2) 求证：∥平面.‎ ‎ ‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．‎ ‎(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ ‎(2)在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大?‎ ‎（利润=累计收入+销售收入-总支出）‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 已知椭圆：的离心率，一条准线方程为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设为椭圆上的两个动点，为坐标原点，且.‎ ①当直线的倾斜角为时，求的面积；‎ ②是否存在以原点为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项和为，且，.‎ ‎(1) 证明数列是等比数列，并写出通项公式；‎ ‎(2) 若对恒成立，求的最小值；‎ ‎（3）若成等差数列，求正整数的值.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数，.‎ ‎(1)求的最大值；‎ ‎(2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(3)若关于的方程恰有一解，其中是自然对数的底数，求实数的值.‎ 数学Ⅱ 附加题部分 注意事项：‎ 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回．作答试题，必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．‎ C ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎(第21—A题图)‎ B A．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）‎ D 如图，已知，是圆的两条弦，且是线段的 ‎ A 垂直平分线，若，求线段的长度．‎ B．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 已知矩阵M＝ 的一个特征值是3，求直线在M作用下的新直线方程．‎ C．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程．‎ D．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 已知关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22． (本小题满分10分) ‎ A P C B 第22题图 D M O 如图，在正四棱锥中，已知，点为中点，求直线 与平面所成角的正弦值． ‎ ‎23． (本小题满分10分)‎ 某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖．记X表示一次摇奖获得的购物券金额．‎ ‎(1)求摇奖一次获得一等奖的概率；‎ ‎(2)求X的概率分布列和数学期望．‎ ‎(2) 因为 …12分 B A C D A1‎ B1‎ C1‎ G 而，所以函数的值域为……………………14分 ‎16．（1）因为在直三棱柱中，所以平面,‎ 因为平面，所以，‎ 又，,所以平面,‎ 因为，所以 ……………4分 又因为，所以是正方形，所以，‎ 又，所以平面， ……………………………………8分 ‎(2)在正方形中，设，则为中点,为的中点，结,在中，∥， ………………………………………………12分 因为平面，平面，所以∥平面， ………14分 ‎17．（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，‎ 则，‎ ‎18．（1）因为，，，……………………………2分 解得，‎ 所以椭圆方程为． ………………………………………………………4分 ‎（2）①由，解得 ，…………………………………………6分 由 得 ， ……………………………………………………8分 所以，所以．……………………………10分 ②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则 因为，故，‎ 当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：，‎ ‎19．（1）因为，其中是数列的前项和，是数列的前项和，且，‎ 当时，由，解得，……………………………………………2分 当时，由，解得； ………………………………4分[来 由，知，两式相减得 ‎，即，………………5分 亦即，从而，再次相减得 ‎，又，所以 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， ………………………………………7分 其通项公式为 ．……………………………………………………………8分 ‎（2）由（1）可得，，……10分 ‎20．（1）因为，所以，…………………………………2分 由，且，得，由，且，，…………………4分 所以函数的单调增区间是，单调减区间是，‎ 所以当时，取得最大值；………………………………………………………6分 ‎（2）因为对一切恒成立，‎ 即对一切恒成立，‎ 亦即对一切恒成立，…………………………………………8分 设，因为，‎ 故在上递减，在上递增， ，‎ 所以． …………………………………………………………………………10分 ‎（3）因为方程恰有一解，即恰有一解，即恰有一解，‎ 由（1）知，在时，，…………………………………………12分 B．（选修4—2：矩阵与变换）‎ 因为矩阵M＝ 的一个特征值是3，‎ 设，‎ 则，解得，所以，…………………………5分 设直线上任一点在M作用下对应点为，‎ 则有，整理得，‎ 即，代人，整理得,‎ 故所求直线方程为：．………………………………………………10分 C．（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 由消去，得，‎ 曲线是以为圆心，半径等于1的圆． ………………………………………5分 所以在极坐标系下，曲线是以为圆心，半径等于1的圆．‎ 所以曲线的极坐标方程是． ………………………………………10分 D．（选修4－5：不等式选讲）‎ 因为 ………………………………………………………………5分 故原不等式解集为R等价于 所以 又因为，所以,‎ 所以正实数的取值范围为． …………………………………………………10分 ‎23．（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，‎ 连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．‎