【数学】2018届一轮复习人教A版专题15平面向量的数量积学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题15平面向量的数量积学案

专题15　平面向量的数量积 ‎1．平面向量的数量积：定义、运算律、性质、投影．‎ ‎2．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ 例1　在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________．‎ 变式训练1　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 例2　一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)‎ A．6 B．2 C．2 D．2 变式训练2　设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．‎ 例3　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，求·的值．‎ 变式训练3　已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，求|c|的取值范围．‎ A级 ‎1．设向量e1，e2是夹角为的单位向量，若a＝3e1，b＝e1－e2，则向量b在a方向上的投影为(　　)‎ A. B. C．－ D．1‎ ‎2．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ ‎3．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　)‎ A．45° B．135° C．120° D．150°‎ ‎4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－6 C．6 D．8‎ ‎5．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.‎ ‎6．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．‎ ‎7．已知向量a，b满足(a－2b)·(a＋b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．‎ B级 ‎8．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎9．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)且a，b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)‎ A．λ> B．λ≥ C．λ< D．λ≤ ‎10．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎11．设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ ‎13．设a＝(1，2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．‎ 专题15　平面向量的数量积 典型例题 例1　－ 解析　如图，由题意得D为BC中点，E为AC三等分点，‎ ‎∴·＝(＋)·(－)‎ ‎＝(＋)·(－)‎ ‎＝－2＋2＋·－‎ ·＝－2＋2－· ‎＝－＋－×＝－.‎ 变式训练1　 解析　由⊥知·＝0，‎ 即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.‎ 例2　D 解析　由题意，得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，所以(F3)2＝(－F1－F2)2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝|F1|2＋2|F1|·|F2|·cos 60°＋|F2|2＝22＋2×2×4×cos 60°＋42＝28，‎ 即|F3|2＝28，故|F3|＝2.‎ 变式训练2　 解析　a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝.‎ ‎∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝5.‎ ‎|b|＝|2e1|＝2.∴＝.‎ 例3　解　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，‎ 则＝(，0)．‎ 设＝(x，2)，则由条件得 x＝，得x＝1，‎ 从而F(1，2)，＝(，1)，‎ ＝(1－，2)，‎ 于是·＝.‎ 变式训练3　解　∵a·b＝0，且a，b是单位向量，‎ ‎∴|a|＝|b|＝1.‎ 又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，‎ ‎∴2c·(a＋b)＝c2＋1.‎ ‎∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝，‎ ‎∴c2＋1＝2|c|cos θ(θ是c与a＋b的夹角)．‎ 又－1≤cos θ≤1，∴0.]‎ ‎10．C　[2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，‎ a－b＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3)，‎ ‎(2a＋b)·(a－b)＝9，‎ ‎|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.‎ 设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，‎ ‎∵0≤α≤π，∴α＝.]‎ ‎11．－ 解析　由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－.‎ ‎12．解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.‎ 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，‎ 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.‎ ‎(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，‎ 即sin x－cos x＝，‎ 所以sin＝，‎ 因为0

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