【数学】2018届一轮复习人教A版古典构型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版古典构型学案

专题57 古典概型 ‎1.理解古典概型及其概率计算公式；‎ ‎2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率. ‎ ‎1.基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的.‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.‎ ‎2．古典概型的两个特点 ‎(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．‎ ‎3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4.古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 高频考点一、 简单的古典概型的概率 ‎【例1】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：‎ ‎(1)两数中至少有一个奇数的概率；‎ ‎(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.‎ 解　由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型.‎ ‎(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.‎ ‎∵事件包含的基本事件数m＝CC＝9.‎ ‎∴P()＝＝，则P(B)＝1－P()＝，‎ 因此，两数中至少有一个奇数的概率为.‎ ‎【方法规律】计算古典概型的概率可分三步：‎ ‎(1)算出基本事件的总个数n；‎ ‎(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；‎ ‎(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.‎ ‎【变式探究】 (1)(2015·广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D.1‎ ‎(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.‎ 解析　(1)从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，‎ 所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.‎ ‎(2)将一颗质地无均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有36种，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－＝.‎ 答案　(1)B　(2) 高频考点二　复杂的古典概型的概率 ‎【例2】某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.‎ 解　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，‎ 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 ‎1－＝.‎ ‎(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.‎ 则P(B)＝＝，P(C)＝＝.‎ 由互斥事件的概率加法，‎ 得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，‎ 故所求事件的概率为.‎ ‎【方法规律】(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.‎ ‎(2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ ‎【变式探究】一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).‎ ‎(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；‎ ‎(2)在取出的3个小球中，求小球编号最大值为4的概率.‎ 高频考点三　古典概型与统计的综合应用 ‎【例3】 从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为________kg；若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________.‎ 解析　由频率分布直方图可知，体重在[40，50)内的男生人数为0.005×10×100＝5，同理，体重在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]内的人数分别为35，30，20，10，所以体重的平均值为＝64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内选取的人数分别为12×＝6，12×＝4，12×＝2，则两人体重不在同一组内的概率为＝.‎ 答案　64.5　 ‎【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点.概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.‎ ‎【变式探究】 某车间共有12名工人，随机抽取6名作为样本，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.要从这6人中，随机选出2人参加一项技术比赛，选出的2人至少有1人为优秀工人的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由已知得，样本均值为＝＝22，故优秀工人只有2人.‎ 故所求概率为P＝＝＝，故选C.‎ 答案　C ‎1.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　甲被选中的概率为P＝＝＝.‎ 答案　B ‎2.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.‎ 解析　甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C，乙同学的选法种数为C，则两同学的选法种数为C·C，两同学各自所选水果相同的选法种数为C，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P＝＝.‎ 答案　 ‎3.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.‎ 解析　这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.‎ 答案　 ‎1.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　从A，B中任意取一个数，共有C·C＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3， 1)两种，∴P＝＝.‎ 答案　C ‎2.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C＝10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P＝＝.‎ 答案　A ‎3.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　落在2x－y＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率为P＝＝.‎ 答案　A ‎4.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b

查看更多