2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷）精校版（含答案）

2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷）精校版（含答案）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 文 科 数 学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率，则第八个单音频率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．在平面坐标系中，，，，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设集合，则（ ）‎ A．对任意实数，‎ B．对任意实数，‎ C．当且仅当时，‎ D．当且仅当时，‎ 第II卷 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．设向量，，若，则_________．‎ ‎10．已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．‎ ‎11．能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为_________．‎ ‎12．若双曲线的离心率为，则_________．‎ ‎13．若，满足，则的最小值是_________．‎ ‎14．若的面积为，且为钝角，则_________；的取值范围是_________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题13分）设是等差数列，且，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求．‎ ‎16．（本小题13分）已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为，求的最小值．‎ ‎17．（本小题13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ ‎（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； ‎ ‎（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）‎ ‎18．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求证：平面．‎ ‎19．（本小题13分）设函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求；‎ ‎（2）若在处取得极小值，求的取值范围．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求的最大值；‎ ‎（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 文 科 数 学 答 案 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D B B D C C D 第II卷 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．‎ ‎9．【答案】‎ ‎10．【答案】‎ ‎11．【答案】1，（答案不唯一）‎ ‎12．【答案】4‎ ‎13．【答案】3‎ ‎14．【答案】；．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，，，‎ 又，，．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎16．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 所以的最小正周期为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为，所以．‎ 要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1．‎ 所以，即．所以的最小值为．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．‎ ‎【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是．‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是，故所求概率为．‎ ‎（2）设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件．没有获得好评的电影共有部．‎ 由古典概型概率公式得．‎ ‎（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．‎ ‎18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1），且为的中点，，‎ 底面为矩形，，．‎ ‎（2）底面为矩形，，‎ 平面平面，平面，‎ ‎．又，平面，平面平面．‎ ‎（3）如图，取中点，连接，．‎ ‎，分别为和的中点，，且，‎ 四边形为矩形，且为的中点，，，‎ ‎，且，四边形为平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，由题设知，即，解得．‎ ‎（2）方法一：由（1）得．‎ 若，则当时，；当时，．‎ 所以在处取得极小值．‎ 若，则当时，，．‎ 所以1不是的极小值点．‎ 综上可知，的取值范围是．‎ 方法二：．‎ ‎（1）当时，令得，，随的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ 极大值 在处取得极大值，不合题意．‎ ‎（2）当时，令得，．‎ ‎①当，即时，，在上单调递增，‎ 无极值，不合题意．‎ ‎②当，即时，，随的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 在处取得极大值，不合题意．‎ ‎③当，即时，，随的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 在处取得极小值，即满足题意．‎ ‎（3）当时，令得，，，随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 在处取得极大值，不合题意．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）；（3）1．‎ ‎【解析】（1）由题意得，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 由消去可得，‎ 则，即，‎ 设，，则，，‎ 则，‎ 易得当时，，故的最大值为．‎ ‎（3）设，，，，‎ 则 ①， ②，‎ 又，所以可设，直线的方程为，‎ 由消去可得，‎ 则，即，‎ 又，代入①式可得，所以，‎ 所以，同理可得．‎ 故，，‎ 因为，，三点共线，所以，‎ 将点，的坐标代入化简可得，即．‎