数学卷·2018届河北省唐山市迁西一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届河北省唐山市迁西一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

河北省唐山市迁西一中2016-2017学年高二（上）期中数学试卷（文科）(解析版)‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 ‎2．直线l过点（0，1），且倾斜角为450，则直线l的方程是（　　）‎ A．x+y+1=0 B．x﹣y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x+y﹣1=0‎ ‎3．若直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（　　）‎ A．3 B．1 C．0或 D．1或﹣3‎ ‎4．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（　　）‎ A．2 B．4 C．4 D．8‎ ‎5．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎6．A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=‎ ‎，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（　　）‎ A．6π B． C．12π D．‎ ‎7．已知点A（﹣1，2），B（3，1），若直线ax﹣y﹣2=0与线段AB相交，则a的范围是（　　）‎ A．[﹣4，1] B．[1，4] C．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为+π，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎9．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ‎ ‎②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；‎ ‎③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎11．已知实数x，y满足方程x2+y2=1，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2‎ ‎=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎13．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程　　．‎ ‎14．过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程　　．‎ ‎15．已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是　　．‎ ‎16．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是　　‎ ‎①异面直线AB与CD所成角为90°；‎ ‎②直线AB与平面BCD所成角为60°；‎ ‎③直线EF∥平面ACD ‎ ‎④平面AFD⊥平面BCD．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将所选答案写在答题卷上）‎ ‎17．（10分）已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．‎ ‎（1）求BC边中线AD所在的直线方程 ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a．‎ ‎（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1‎ ‎（2）求证：平面A1C⊥平面AB1D1．‎ ‎20．（12分）已知O为坐标原点，方程x2+y2+x﹣6y+c=0‎ ‎（1）若此方程表示圆，求c的取值范围；‎ ‎（2）若（1）中的圆与直线l：x+2y﹣3=0交于P、Q两点．若以PQ为直径的圆过原点O求c值．‎ ‎21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2． ‎ ‎（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；‎ ‎（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF．‎ ‎22．（12分）已知直线L被两平行直线L1：2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，圆C：（x+4）2+（y﹣1）2=25．‎ ‎（1）证明直线L与圆C恒有两个交点；‎ ‎（2）当直线L被圆C截得的弦最短时，求出直线方程和最小弦长．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省唐山市迁西一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．‎ ‎【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；‎ ‎②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．‎ ‎　‎ ‎2．直线l过点（0，1），且倾斜角为450，则直线l的方程是（　　）‎ A．x+y+1=0 B．x﹣y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x+y﹣1=0‎ ‎【考点】直线的斜截式方程．‎ ‎【分析】由题意可得直线的斜率，进而可得直线的斜截式方程，化为一般式即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得直线的斜率k=tan45°=1，‎ ‎∴直线的斜截式方程为y﹣1=1×（x﹣0），‎ 化为一般式可得x﹣y+1=0，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜截式方程，属基础题．‎ ‎　‎ ‎3．若直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（　　）‎ A．3 B．1 C．0或 D．1或﹣3‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：当a=1时，两条直线分别化为：x=3，5y=2，此时两条直线互相垂直；‎ 当a=﹣时，两条直线分别化为：3x﹣5y+6=0，5x=﹣4，此时两条直线不互相垂直．‎ 当a≠﹣，1时，两条直线分别化为：﹣， +．‎ ‎∵直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，‎ ‎∴=﹣1，‎ 解得a=﹣3或1（舍去），‎ 综上可得：a=﹣3或1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（　　）‎ A．2 B．4 C．4 D．8‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积．‎ ‎【解答】解：设原图形为△A′OB′，‎ ‎∵OA=2，0B=2‎ ‎∠AOB=45°‎ ‎∴OA′=4，OB′=2，∠A′OB′=90°‎ 因此，Rt△A′OB′的面积为S=×4×2=4‎ 故选C ‎【点评】本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．‎ ‎【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，‎ ‎∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，‎ 又A1D=A1B=DB=AB，‎ 则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°‎ 故选C．‎ ‎【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（　　）‎ A．6π B． C．12π D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．‎ ‎【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，‎ 它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，‎ 它的外接球半径是，‎ 外接球的表面积是4π（）2=6π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题 ‎　‎ ‎7．已知点A（﹣1，2），B（3，1），若直线ax﹣y﹣2=0与线段AB相交，则a的范围是（　　）‎ A．[﹣4，1] B．[1，4] C．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】由直线ax﹣y﹣2=0过定点P（0，﹣2），求出PA、PB所在直线的斜率得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线ax﹣y﹣2=0过定点P（0，﹣2），‎ 如图：‎ 又kPA=﹣4，kPB=1，‎ ‎∴a的范围是（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为+π，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左边是一个三棱锥，右面是一个圆柱的一半．利用体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左边是一个三棱锥，右面是一个圆柱的一半．‎ ‎∴该几何体的体积为+π=+πa2×2，‎ 解得a=1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．‎ ‎【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，‎ 则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD 为轴截面的小圆锥后剩余的部分．‎ ‎∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，‎ BE=ABcos60°=1，‎ V1==，V2==π，‎ ‎∴V=V1﹣V2=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ‎ ‎②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；‎ ‎③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明．‎ ‎【解答】解：①由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确．‎ ‎②设三棱柱的三个侧面分别为α，β，γ，其中两条侧棱为m，n，显然m∥n，但α与β不平行，故②错误．‎ ‎③∵α∥β∥γ，∴当m⊥α时，m⊥γ，故③正确．‎ ‎④当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知实数x，y满足方程x2+y2=1，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由的几何意义，即圆x2+y2=1上的动点与定点P（2，0）连线的斜率求解．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 设过P（2，0）的直线的斜率为k，‎ 则直线方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0，‎ 由坐标原点O（0，0）到直线kx﹣y﹣2k=0的距离等于1，得 ‎，解得：k=．‎ ‎∴的取值范围是[]．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，‎ 而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，‎ 所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；‎ 故选B ‎【点评】‎ 本题考查了点与圆的位置关系的判断；关键是明确线段AB中点与圆上点的距离范围．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎13．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程　2x﹣y=0或x+y﹣3=0　．‎ ‎【考点】直线的两点式方程．‎ ‎【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．‎ ‎【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，‎ 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；‎ ‎②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，‎ 把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．‎ 综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．‎ 故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0‎ ‎【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎14．过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程　　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2‎ 上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，得圆的切线方程．‎ ‎【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立，‎ ‎∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，‎ 则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，此题是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是　3﹣　．‎ ‎【考点】圆的一般方程；三角形的面积公式．‎ ‎【分析】求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求△ABC的面积最小值．‎ ‎【解答】解：直线AB的方程为+=1，即x﹣y+2=0．‎ 圆x2+y2﹣2x=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，‎ ‎∴圆心（1，0）到直线的距离为d==，‎ 圆上的点到直线距离的最小值为﹣1．‎ ‎∵|AB|=2，∴△ABC的面积最小值是×2×（﹣1）=3﹣，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查用截距式求直线的方程，点到直线的距离公式、直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是　①③④　‎ ‎①异面直线AB与CD所成角为90°；‎ ‎②直线AB与平面BCD所成角为60°；‎ ‎③直线EF∥平面ACD ‎ ‎④平面AFD⊥平面BCD．‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】在①中，由AB⊥平面CDE，知异面直线AB与CD所成角为90°；在②中，直线AB与平面BCD所成角为arccos；在③中由EF∥AC，知直线EF∥平面ACD；在④中，由BC⊥平面ADF，知平面AFD⊥平面BCD．‎ ‎【解答】解：正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，‎ 在①中，∵正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴CE⊥AB，DE⊥AB，‎ 又CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE，‎ ‎∵CD⊂平面CDE，‎ ‎∴异面直线AB与CD所成角为90°，故①正确；‎ 在②中，过A作AO⊥平面BCD，交DF=O，连结BO，‎ 则∠ABO是直线AB与平面BCD所成角，‎ 设正四面体ABCD的棱长为2，‎ 则DF=，BO=，‎ cos==．‎ ‎∴直线AB与平面BCD所成角为arccos，故②错误；‎ 在③中，∵点E，F分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，‎ ‎∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，‎ ‎∴直线EF∥平面ACD，故③正确；‎ 在④中，由AF⊥BC，DF⊥BC，‎ 又AF∩DF=F，∴BC⊥平面ADF，‎ ‎∵BC⊂平面BCD，∴平面AFD⊥平面BCD，故④正确．‎ 故答案为：①③④．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将所选答案写在答题卷上）‎ ‎17．（10分）（2016秋•迁西县校级期中）已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．‎ ‎（1）求BC边中线AD所在的直线方程 ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；‎ ‎（2）首先求得顶点C到直线AD的距离，中线AD的长度，然后由三角形的面积求法进行解答．‎ ‎【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．‎ ‎∴BC中点D（0，1），‎ ‎∴kAD=﹣3‎ ‎∴AD直线方程为3x+y﹣1=0；‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用 ‎　‎ ‎18．（12分）（2015秋•唐山期末）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）求出抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的交点坐标，确定圆心与半径，即可求圆C的方程；‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，0），（0，3）…（3分）‎ 所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点（2，2），圆的半径是，‎ 于是圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．…（6分）‎ ‎（2）圆心C到直线2x﹣y+2=0的距离d=…（9分）‎ ‎|AB|=2=…（12分）‎ ‎【点评】‎ 此题考查了圆C的方程，考查直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•迁西县校级期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a．‎ ‎（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1‎ ‎（2）求证：平面A1C⊥平面AB1D1．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）运用面面平行的判定定理，先证线面平行，即可得证；‎ ‎（2）运用面面垂直的判定定理，先证线面垂直，即可得证．‎ ‎【解答】证明：（1）BC1∥AD1，BC1⊂平面BDC1，‎ AD1⊄平面BDC1，‎ 所以以AD1∥平面BDC1‎ 同理可证B1D1∥平面BDC1，‎ AD1∩B1D1=D1，AD1⊂平面AB1D1，‎ B1D1⊂平面AB1D1，‎ 所以平面AB1D1∥平面BDC1…（6分）‎ ‎（2）∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，‎ A1C1∩AA1=A1，A1C1⊂平面A1C，AA1⊂平面A1C ‎∴B1D1⊥平面A1C，B1D1⊂平面AB1D1，‎ ‎∴平面A1C⊥平面AB1D1． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查线面位置关系，主要考查面面平行和垂直的判定定理的运用，注意转化思想，考查推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•迁西县校级期中）已知O为坐标原点，方程x2+y2+x﹣6y+c=0‎ ‎（1）若此方程表示圆，求c的取值范围；‎ ‎（2）若（1）中的圆与直线l：x+2y﹣3=0交于P、Q两点．若以PQ为直径的圆过原点O求c值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据二元二次方程表示圆，D2+E2﹣4F＞0，代入数据求出c的取值范围；‎ ‎（2）法一：设出PQ中点（m，n），写出以PQ为直径的圆，利用公共弦方程求出m、n的值，代入直线l求出c的值．‎ 法二：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）利用直径对直角得出OP⊥OQ，由kOPkOQ=﹣1以及直线与圆的方程组成方程组，利用根与系数的关系即可求出c的值．‎ ‎【解答】解：（1）若方程x2+y2+x﹣6y+c=0表示圆，‎ 则D2+E2﹣4F=1+36﹣4c＞0，‎ 解得c＜；…（3分）‎ ‎（2）法一：PQ为直径的圆过原点O，设PQ中点为（m，n），‎ 则以PQ为直径的圆为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2…（6分）‎ ‎∵PQ为圆C：x2+y2+x﹣6y+c=0与（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2的公共弦，‎ ‎∴PQ方程为（1+2m）x+（﹣6+2n）y+c=0，…（8分）‎ 它与直线l：x+2y﹣3=0为同一条直线，‎ ‎∴，‎ 解得；…（10分）‎ ‎∵（m，n）在直线l：x+2y﹣3=0上，‎ ‎∴将代入，‎ 解得c=3即为所求． …（12分）‎ 法二：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ为直径的圆过原点O，‎ ‎∴OP⊥OQ，‎ ‎∴kOPkOQ=﹣1，即x1x2+y1y2=0①；…（6分）‎ 由，‎ 消去x得5y2﹣20y+12+c=0，‎ ‎∴y1+y2=4，②；…（8分）‎ 又x1x2=（3﹣2y1）（3﹣2y2）=9﹣6（y1+y2）+4y1y2③；…（10分）‎ 将②③代入①，‎ 解得c=3即为所求．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了二元二次方程表示圆以及直线与圆的应用问题，也考查了方程组以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015秋•咸阳期末）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2． ‎ ‎（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；‎ ‎（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）利用直角三角形的边角关系可得BC，CD．SABCD=，利用V=S四边形ABCD×PA，即可得出．‎ ‎（2）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AF⊥PC．利用线面垂直的判定与性质定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可证明PC⊥平面AEF．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，‎ ‎∴BC=，AC=2．‎ 在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，‎ ‎∴CD=2，AD=4．‎ ‎∴SABCD==． ‎ ‎ 则V=．…．（6分）‎ ‎（2）∵PA=CA，F为PC的中点，‎ ‎∴AF⊥PC．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD．‎ ‎∵AC⊥CD，PA∩AC=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC．‎ ‎∴CD⊥PC．‎ ‎∵E为PD中点，F为PC中点，‎ ‎∴EF∥CD．则EF⊥PC．‎ ‎∵AF∩EF=F，‎ ‎∴PC⊥平面AEF． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•迁西县校级期中）已知直线L被两平行直线L1：2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，圆C：（x+4）2+（y﹣1）2=25．‎ ‎（1）证明直线L与圆C恒有两个交点；‎ ‎（2）当直线L被圆C截得的弦最短时，求出直线方程和最小弦长．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）设线段AB的中点为M（a，b），由此列出方程组求出a、b的值；根据圆C的圆心C与点M的距离与半径r的大小即可证明直线L与圆C恒有两个交点；‎ ‎（2）由直线L被圆C截得的弦最短时直线L⊥MC，求出L的斜率，写出直线方程，再求出最小弦长．‎ ‎【解答】解：（1）证明：设线段AB的中点为M（a，b），‎ 依题意，…（2分）‎ 解得a=﹣3，b=﹣1；…（3分）‎ ‎∵圆C：（x+4）2+（y﹣1）2=25圆心为C（﹣4，1），半径r=5；…（4分）‎ 且|MC|==＜r，‎ ‎∴直线L与圆C恒有两个交点； …（6分）‎ ‎（2）∵当直线L被圆C截得的弦最短时直线L⊥MC，…（8分）‎ ‎∴kL=﹣=﹣=，‎ 则直线L为，‎ 即x﹣2y+1=0，…（10分）‎ 最小弦长为|EF|=．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用问题，也考查了直线垂直以及两点间的距离公式的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎