甘肃省张掖市第二中学2020届高三11月月考数学（理）试卷

甘肃省张掖市第二中学2020届高三11月月考数学（理）试卷

数学（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．已知函数是定义在上周期为的奇函数，且当时，，则 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．若，则下列各式中一定正确的是 A． B． C． D．‎ ‎4．已知正数项等比数列中，，且与的等差中项是，则（ ）‎ A．2 B． C．4 D．2或4‎ ‎5．若，，，则的大小关系（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6．下列判断正确的是（ ）‎ A. 命题“，”的否定是“，”‎ B. 函数的最小值为2‎ C. “”是“”的充要条件 D. 若，则向量与夹角钝角 ‎7．将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎9．若曲线的一条切线是，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎10．如图，在中，，，‎ 若，则的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知函数的最小正周期为，若在时所求函数值中没有最小值，则实数的范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数，（是自然对数的底数），若关于的方程恰有两个不等实根、，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．，，则__________.‎ ‎14．平面向量与的夹角为，，，则________.‎ ‎15．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为__________．‎ ‎16．如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面 内（不包括边界），若平面，则的最小值是____．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知正项数列的前项和满足：．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，的面积为，若.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是的中点，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值. ‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点，记点关于轴 对称的点为．证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围 ‎22．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的最小值．‎ ‎23．设函数．‎ ‎（1）若的最小值是，求的值；‎ ‎（2）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实 数的取值范围．‎ 数学（理科）答案 ‎1【答案】D 根据复数的除法运算得到结果.‎ ‎【详解】复数 对应的点坐标为在第四象限.‎ ‎2【答案】B 由题意，函数是定义在上周期为的奇函数，所以，‎ 又时，，则，所以 ‎，故选B.‎ ‎3【答案】D ‎4．与的等差中项是，所以，即，‎ 负值舍去，故选B．‎ ‎5【答案】B【解析】由题意得：，，所以 ‎6【答案】C 【详解】解：对于选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；对于选项B，令 ，则，则，，又在为增函数，即 ，即B错误；对于选项C，由“”可得“”，由“”可得，解得“”，即 “”是“”的充要条件，即C正确，对于选项D，若，则向量与夹角为钝角或平角，即D错误，故选C.‎ ‎7【答案】D【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 ，由题可得当时，.即函数的图象的一个对称中心是故选D ‎8【答案】B【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为,故,根据面积公式有,而,解得,故实轴长,选B ‎9【答案】C【解析】设切点为,,故切线方程为,即,所以.故选C.‎ ‎10‎ ‎11【答案】D【详解】因为函数的最小正周期为，‎ 所以，当时，，因为时所求函数值中没有最小值，‎ 所以，解得，所以的取值范围是，‎ ‎12【答案】D【详解】解：∵，∴恒成立，∴，∴，‎ 作函数，的图象如下，结合图象可知，存在实数，使得，‎ 故，令，则，‎ 故在递减，在递增，∴，故选：D ‎13【答案】2 详解：由，可得，则，故答案为.‎ ‎14.‎ ‎15【答案】【解析】由题意， 有解，即有解，令， ，当时，当时，所以，故只需 ‎16【答案】详解】取中点，连结，作，连，‎ 因为面面面，所以动点在底面 内轨迹为线段，‎ 当点与点重合时，取得最小值，因为，‎ 所以.‎ ‎17【答案】（1）；（2）‎ ‎【试题解析】（1）由已知，可得 当时，，可解得，或，‎ 由是正项数列，故. 当时，由已知可得，，‎ 两式相减得，.化简得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）∵，代入化简得，显然是等差数列，∴其前项和.‎ ‎18.‎ ‎19【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）在中，，为的中点，所以.因为平面底面，‎ 且平面底面，所以底面.又平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）在直角梯形中，，，为的中点，所以，‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 因为，所以，由（Ⅰ）可知平面，‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，，，.‎ 因为，，所以平面，‎ 即为平面的一个法向量，且.‎ 因为是棱的中点，所以点的坐标为，‎ 又，设平面的法向量为.‎ 则，即，令，得，，所以.‎ 从而 . 由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎20【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，直线经过轴上定点，其坐标为 ‎【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知.解得.又，‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线的方程为. 设，，则.‎ 由，消去，可得.‎ ‎，.，. ，‎ 直线的方程为.令，‎ 可得...‎ 直线经过轴上定点，其坐标为.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）的定义域是，．‎ ‎①时，，在上单调递增：‎ ‎②时，，解得，‎ 当时，，则在上递减；‎ 当时，，则在上递增．‎ ‎（2）法1：当时，，依题意知不等式，‎ 即在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，，‎ 令，，‎ 易知在上递减，在上递增，‎ 则，‎ 即，设，则，‎ ‎，则递增，又故，，‎ ‎∴，解得．‎ ‎（3）法2：当时，，‎ 不等式，即为，‎ 整理为，也即为．‎ 构造函数，易知单调递增，又，‎ 即，所以，即恒成立．‎ 故恒成立，只需（恒成立，‎ 则个定有，解得．‎ ‎22. 【详解】解：（Ⅰ），.‎ 由直角坐标与极坐标的互化关系，. 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得.‎ ‎，可设是方程的两个实数根，则，.‎ ‎，‎ 当时，等号成立.的最小值为.‎ ‎22.【答案】（1）；（2）‎ 详解：（Ⅰ），‎ 由已知，知，解得.‎ ‎（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.‎ 即，变形得，∴，∴.‎ 点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；‎