2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）下学期期中考试数学试题 Word版

2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）下学期期中考试数学试题 Word版

河北定州中学2017-2018学年第二学期高二数学承智班期中考试试题 ‎ 一、单选题 ‎1．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．如图,在棱长为的正方体中,点、是棱、的中点, 是底面上（含边界）一动点,满足,则线段长度的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：‎ 异面直线与间的距离为定值；‎ 三棱锥的体积为定值；‎ 异面直线与直线所成的角为定值；‎ 二面角的大小为定值．‎ 其中真命题有( )‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎4．现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知分别是函数图像上不同的两点处的切线， 分别与轴交于点，且与垂直相交于点，则的面积的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知， 分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于， 两点， 的内切圆半径为， 的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎8．设， 为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，若向量， 且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2或 B. 3或 C. D. 3‎ ‎9．已知双曲线 ‎，直线l的斜率为-2，与双曲线交于A，B，若在双曲线上存在异于A，B的一点C，使直线AB，BC，AC的斜率满足=3，若D，E，H三点为AB，BC，AC的中点，则k+k=（ ）‎ A. -6 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎10．已知抛物线C: ，直线，PA,PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，则“点P在直线上”是“PAPB”的( )条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎11．已知双曲线： 的两条渐近线是， ，点是双曲线上一点，若点到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是 A. B. 1 C. D. 3‎ ‎12．已知函数的最小值为，则正实数（ ）‎ A. 3 B. C. D. 3或 二、填空题 ‎13．菱形边长为， ，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、、、四点在同一球面上，则球的表面积等于__________．‎ ‎14．如图，等腰所在平面为， ， . 是的重心.平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）.若在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是__________． ‎ ‎15．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于 (、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， 于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________.‎ ‎16．已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱, , 分别交于三点, , ,若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为____________‎ 三、解答题 ‎17．四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,60°, , 是中点,点在侧棱上.‎ ‎（Ⅰ）求证: ;‎ ‎（Ⅱ）是否存在,使平面 平面？若存在,求出,若不存在,说明理由.‎ ‎（Ⅲ）是否存在,使平面？若存在,求出.若不存在,说明理由.‎ ‎18．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，,，,侧面底面,且是以为底的等腰三角形.‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若四棱锥的体积等于.问：是否存在过点的平面分别交，于点 ‎，使得平面平面？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.‎ ‎（1）若,求直线的方程；‎ ‎（2）线段的垂直平分线与直线轴， 轴分别交于点，求 的最小值.‎ ‎20．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.‎ 参考答案 ADDAC ADBDC ‎ ‎10．C ‎11．A ‎12．D ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16． ‎ ‎17．（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.‎ ‎（Ⅰ）取中点,连接.‎ 因为,所以.‎ 因为菱形中, ,所以.‎ 所以.‎ 因为,且平面,所以平面.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,‎ 因为侧面底面,且平面底面,所以底面.‎ 以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.‎ 则,因为为中点,所以.‎ 所以,所以平面的法向量为.‎ 因为,设平面的法向量为,‎ 则,即.‎ 令,则,即.‎ 所以.‎ 由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设 由（Ⅱ）可知.‎ 设,则,‎ 又因为,所以,即.‎ 所以在平面中, ,‎ 所以平面的法向量为,‎ 又因为平面,所以,‎ 即,解得.‎ 所以当时, 平面 ‎18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连接，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵且，‎ ‎∴是正三角形，且，‎ 又∵，平面 ‎∴平面，且平面 ‎∴‎ ‎（Ⅱ）解：存在，理由如下：‎ 分别取的中点，连接，则；‎ ‎∵是梯形，且，‎ ‎∴且，则四边形为平行四边形，‎ ‎∴‎ 又∵平面，平面 ‎∴平面，平面且平面，‎ ‎∴平面平面 ‎∵侧面，且平面平面 由（Ⅰ）知，平面，若四棱锥的体积等于，‎ 则，所以 在和中，‎ ‎∴，则 ‎∴是直角三角形，则.‎ ‎19．（1）；（2）2‎ ‎（1）设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得y2－4my－4＝0，‎ y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．所以kOA＋kOB＝＝－4m＝4．‎ 所以m＝－1，所以l的方程为x＋y－1＝0．‎ ‎（2）由（1）可知，m≠0，C(0，－ )，D(2m2＋1，2m)．‎ 则直线MN的方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)，则 M(2m2＋3，0)，N(0，2m3＋3m)，F(1，0)， ‎ S△NDC＝·|NC|·|xD|＝·|2m3＋3m＋|·(2m2＋1)＝，‎ S△FDM＝·|FM|·|yD|＝·(2m2＋2)·2|m|＝2|m| (m2＋1)， ‎ 则＝＋1≥2，‎ 当且仅当m2＝，即m2＝时取等号．‎ 所以， 的最小值为2．‎ ‎20．（1）见解析；（2）‎ ‎ (1)证明　由题意可知F，‎ 设l1：y＝a，l2：y＝b，且ab≠0，A，B，P，Q，‎ R.记过A，B两点的直线为l，‎ 则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ 因为点F在线段AB上，所以ab＋1＝0，‎ 记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，‎ 所以k1＝，k2＝＝－b，‎ 又因为ab＋1＝0，‎ 所以k1＝＝＝＝＝－b，‎ 所以k1＝k2，即AR∥FQ.‎ ‎(2)解　设直线AB与x轴的交点为D(x1，0)，‎ 所以S△ABF＝|a－b|FD＝|a－b|，‎ 又S△PQF＝，所以由题意可得S△PQF＝2S△ABF 即：＝2××|a－b|·，‎ 解得x1＝0(舍)或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y).‎ 当AB与x轴不垂直时，‎ 由kAB＝kDE可得＝ (x≠1).‎ 又＝，所以y2＝x－1(x≠1).‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，‎ 所以，所求轨迹方程为y2＝x－1. ‎