2018-2019学年天津市蓟州区高二上学期期中考试数学试题 解析版

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绝密★启用前 天津市蓟州区2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知抛物线，则该抛物线的准线方程为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用抛物线方程求出，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线，‎ 所以，，‎ 则该抛物线的准线方程 即为,故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的方程与简单性质的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，是基础题．‎ ‎2．已知数列的前项和，则　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列的前项和公式求得，当时，由求得，验证后得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时，；‎ 当时，‎ ‎．‎ 验证时上式不成立，‎ ‎,故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由数列的前项和求数列的通项公式，是中档题．已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.‎ ‎3．等差数列8，5，2，的第20项为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列8，5，2，中，首项，公差，由等差数列的通项公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 等差数列8，5，2，中，‎ 可得首项，‎ 公差，‎ 等差数列8，5，2，的第20项为：‎ ‎,故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的定义与通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题．‎ ‎4．二次不等式的解集是的条件是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次不等式解集是，可知其对应的二次函数图象开口向下，且与轴没有交点，利用判别式小于零可得结果．‎ ‎【详解】‎ 因为二次不等式的解集是,‎ 所以对应的二次函数的图象开口向下，且与轴没有交点，‎ 所以 且,故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解集与二次函数图象之间的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力以及转化与划归思想的应用，是基础题．‎ ‎5．设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )．‎ A． 1 B． 17 C． 1或17 D． 以上答案均不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据双曲线的定义得到 根据双曲线的焦半径的范围得到 故结果为17.‎ 故答案为：B。‎ ‎6．p:，，则是的　　‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分条件也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值不等式的解法化简命题，根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的包含关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 由可得，，即，‎ 所以，，‎ 不能推出能推出，‎ 是必要不充分条件，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件的判断，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎7．在等比数列中，已知，，则公比的值为　　‎ A． 1或 B． 1或 C． 1 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式、前项和公式列出方程组，能求出公比的值．‎ ‎【详解】‎ 在等比数列中，‎ ‎，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 解得．‎ 公比的值为1或，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列通项公式以及等比数列的求和公式，是基础题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎8．关于不等式的解集是，则的值是　　‎ A． 3 B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可得，和4是的两个实数根，利用韦达定理可求得的值．‎ ‎【详解】‎ 关于不等式的解集是，‎ 和4是的两个实数根，‎ 即和4是的两个实数根，‎ 利用韦达定理可得，‎ ‎，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解集和一元二次方程的解之间的关系，以及韦达定理的应用，属于基础题．‎ ‎9．数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A． 1 B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，所以．‎ 考点：裂项相消求和 ‎10．已知，，，则的最小值是　　‎ A． B． 4 C． D． 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 即的最小值是，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．正整数数列前个奇数的和为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据等差数列的求和公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ 正整数数列前个奇数的和为 ‎，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的求和公式，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题 ‎12．不等式的解集是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出一元二次不等式对应方程的两个实数根，根据一元二次不等式的解法求解即可．‎ ‎【详解】‎ 不等式可化为，‎ 且该不等式对应方程的两个实数根为和3，‎ 所以该不等式的解集是，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求一元二次不等式的解法，是基础题目．若，则 的解集是；的解集是.‎ ‎13．双曲线的渐近线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将双曲线方程化成标准方程，得到且，利用双曲线渐近线方程，可得结果．‎ ‎【详解】‎ 把双曲线化成标准方程为，‎ 且，‎ 双曲线的渐近线方程为，即 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用双曲线的方程求渐近线方程，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．若双曲线方程为，则渐近线方程为；若双曲线方程为，则渐近线方程为.‎ ‎14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用判别式大于0，由一元二次不等式的解法解不等式，即可求得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程根的情况，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．若，则的解集是；的解集是.‎ ‎15．等比数列的各项均为正数，且，则______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由a5a6+a4a7=18得，由对数不等式可知log3a1+log3a2+…+log3a10变形为 考点：等比数列性质及对数运算法则 评卷人 得分 三、解答题 ‎16．已知等比数列，其前项和为，，．‎ Ⅰ求；‎ Ⅱ求．‎ ‎【答案】Ⅰ；Ⅱ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ 根据，列出关于首项 ，公比的方程组，求出，，由此能求出；Ⅱ在等比数列中，由Ⅰ 可知，，‎ 直接根据等比数列的求和公式可得结果．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ设首项为，公比为q，‎ 等比数列，，．‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎.‎ Ⅱ，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项公式和等比数列的前项和公式，是基础题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎17．已知等差数列，其前项和为，，．‎ Ⅰ求和；‎ Ⅱ求使得最大的序号的值．‎ ‎【答案】Ⅰ，；Ⅱ 7或8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ设出等差数列的首项和公差，由，列方程得到首项和公差，把首项和公差分别代入通项公式与前项和公式，可得和；Ⅱ由Ⅰ可得，转化为二次函数求最值，根据配方法可得结果．‎ ‎【详解】‎ 设首项为，公差为d，‎ 由已知得，解得 Ⅰ，‎ ‎．‎ Ⅱ，‎ 当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式，考查了二次函数求最值，是基础题．求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数， ，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.‎ ‎18．已知二次函数．‎ Ⅰ若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；‎ Ⅱ若关于的方程有两个不等正实根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】Ⅰ；Ⅱ.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ的解集为等价于二次函数的图象开口向下且与轴没有交点，结合判别式小于0可得结果；Ⅱ 关于的方程有两个不等正实根，则两根之和、两根之积、判别式都大于零，由此列不等式组求解即可．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ即 由二次函数知识得有，即，‎ 解得；‎ Ⅱ即即，‎ 由二次方程有两个不等正实根知，‎ ‎，由根与系数间关系得，‎ ‎，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的性质与图象，以及一元二次不等式恒成立问题，属中档题．一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑二次项系数的符号及判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.‎ ‎19．椭圆的离心率为，且过点．‎ Ⅰ求椭圆方程 Ⅱ过椭圆右焦点做斜率为1的直线交椭圆于两点，求线段的长 ‎【答案】Ⅰ；Ⅱ.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由椭圆的离心率为，且过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出，由此能求出椭圆方程；Ⅱ设，，直线方程为，直线与椭圆联立，得，由此利用根与系数关系、弦长公式能求出线段的长．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ椭圆的离心率为，且过点．‎ 由已知得，，‎ 解得，‎ 椭圆方程为 设，，直线方程为，‎ 直线与椭圆联立，得，‎ 由根与系数关系知，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程与离心率、直线与椭圆的位置关系，是中档题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 .‎ ‎20．如图，已知直线与抛物线交于两点，且，交 于点，点的坐标为．‎ Ⅰ求抛物线的方程；‎ Ⅱ求上一点，使得点到直线的距离最短．‎ ‎【答案】Ⅰ；Ⅱ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由的坐标求出所在直线的斜率，进一步得到所在直线的斜率，由直线方程的点斜式可得直线的方程，设出的坐标，由得到横纵坐标的关系，联立直线方程和抛物线方程，化为关于的方程后利用根与系数的关系求解即可；Ⅱ设的坐标为，则，根据点到直线的距离为，根据二次函数的性质即可得结果．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ设点，，‎ 由，得．‎ 点的坐标为，所在直线的斜率为1，‎ 直线AB的方程为即，‎ 则有，‎ 由与消去x，得，‎ ‎，‎ 把代入，解得，代入显然方程有解，‎ 抛物线C的方程为；‎ Ⅱ设P的坐标为，则，‎ 点P到直线的距离为，‎ 当时，d取得最小值，此时，P点坐标为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎