2019-2020学年浙江省宁波市北仑中学（2-10班）高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省宁波市北仑中学（2-10班）高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年浙江省宁波市北仑中学高一上学期期中数学（2-10班）试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出全集中的元素，根据补集定义求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，∴。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集的运算，解题关键是确定全集和集合中的元素，才能根据定义求得补集。‎ ‎2．函数 的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由真数大于0，分母不为0和二次根式被开方数不小于0可得定义域。‎ ‎【详解】‎ 由题意，解得。‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数的定义域。函数定义域就是使函数式有意义的自变量的取值范围。在高中我们所学函数中有意义一般指：‎ ‎（1）分母不为0；（2）偶次根式下被开方数不为负；（3）零次幂底数不为0；（4）对数的真数大于0；（5）对数型函数与指数型函数的底数大于0且不等于1；（6）正切函数中自变量，。‎ ‎3．函数的零点所在的一个区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】计算区间两端点处的函数值，只要一正一负即得。‎ ‎【详解】‎ ‎，。。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点存在定理，连续函数满足，则它在区间上至少有一个零点。‎ ‎4．三个数之间的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】应用幂函数的单调性比较大小，然后借助中间值1可与比较大小。‎ ‎【详解】‎ ‎∵在上是增函数，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴。‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较幂的大小，一般同底数的幂利用指数函数比较大小，同指数的幂利用幂函数比较大小，不同底不同指数的幂可借助中间值，如1比较。‎ ‎5．函数的图象是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】确定函数的奇偶性可排除两个选项，再由函数值的正负排除一个，剩下的就是正确选项。‎ ‎【详解】‎ 函数定义域是，‎ 设，则，∴是奇函数，可排除A、C，‎ 又时，时，，因此可排除B。‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由函数解析式选取函数的图象。解题进可用排除法，即研究函数的性质如单调性、奇偶性，对称性，研究函数的特殊值如某点处的具体函数值，或者特殊点，如顶点，与坐标轴的交点，以及函数值的正负，或者函数值的变化趋势，排除三个选项得到正确选项。‎ ‎6．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围是(　　)‎ A．[0，] B．[，]‎ C．[，] D．[，]‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数上的图像，找到对应的值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 画出函数上的图像如下图所示，由图像得：的取值范围是.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正弦函数的图像，考查特殊角的三角函数值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎7．设函数，若，则（ ）‎ A．3 B．9 C．27 D．81‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接把已知和待求值式代入函数解析式计算。‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ ‎∴‎ ‎。‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的概念，考查幂的运算法则，属于基础题。‎ ‎8．设函数 ，则下列结论错误的是（ ）‎ A．的值域为 B．是非奇非偶函数 C．对于任意，都有 D．不是单调函数 ‎【答案】B ‎【解析】A：由函数性质可知，的值只能取1，-1，所以值域为，正确；‎ B：当为有理数时，也是有理数，则；同理可得，当为无理数时，也满足，所以时，均有，为偶函数，错误；‎ C：当为有理数时，也是有理数，则；同理可得，当 为无理数时，也满足，所以时，均有，正确；‎ D：由函数性质易知，不是单调的，正确；‎ 故选B。‎ ‎9．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，；‎ 当时，；‎ 所以，‎ 易知，在单调递增，在单调递增，‎ 且时，，时，，‎ 则在上单调递增，‎ 所以得：，解得，故选C。‎ 点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到，通过单调性分析，得到在上单调递增，解不等式，要符合定义域和单调性的双重要求，则，解得答案。‎ ‎10．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.设函数，二次函数，若函数 与的图象有且只有一个公共点，则的取值不可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先分析函数的性质，可以画出图象，然后结合二次函数性质可知什么时候只有一个公共点．‎ ‎【详解】‎ ‎∵当（其中为整数），，函数，‎ ‎∴是周期函数，周期为1，当时，．作出函数图象，如图，‎ A．时，，它的零点是0和，由只有一组解，即直线与在相切，又，但不在函数的图象上，因此与只有一个公共点；‎ B．时，，它的零点是0和，，由（1）知它在处切线方程为，因此的图象与的图象只有一个公共点；‎ C．时，，它的零点为0和，但，而，因此与的图象有两个公共点；‎ D．时，，它的零点为0和，，且在处的切线方程是．因此与的图象只有一个公共点．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的公共点个数问题，考查学生的创新意识，解题时要通过研究函数 的定义得出它的性质，周期性、单调性等，得出它的图象，从而结合二次函数的性质可得与的交点个数，题中切线的说明很重要，要注意．‎ 二、填空题 ‎11．（1）_________；（2）_________.‎ ‎【答案】 4 ‎ ‎【解析】(1)根据分数指数幂化简求值；（2）根据对数运算法则化简求值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1),‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分数指数幂以及对数运算法则，考查基本化解求值能力.‎ ‎12．函数的值域是________，单调递增区间是_____；‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先求出的值域，再结合指数函数的性质得出结论，再由复合函数的单调性得出增区间．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，即值域为，‎ 是减函数，在是递减，在上递增，∴所求函数增区间是．‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型复合函数的值域和单调性，掌握指数函数的值域和复合函数的单调性是解题基础．‎ ‎13．已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.‎ ‎【答案】2 100 ‎ ‎【解析】设半径为，用表示出扇形面积，然后求得最大值．‎ ‎【详解】‎ 设扇形半径为，则其弧长为，，∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴时，．此时圆心角为．‎ 故答案为：2；100．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查扇形的面积公式，属于基础题．‎ ‎14．若函数是幂函数，且满足，则 __________，函数过定点__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设，则，得，；‎ ‎，则当时，，所以过定点。‎ ‎15．函数在是单调递减的，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，内层函数在区间上单调递减，可得出，且使得在处的函数值非负，由此可得出关于的不等式组，解出不等式组即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.‎ 由于函数在上单调递减，‎ 则函数在上为减函数，则有，‎ 由于在为正数，则当时，，‎ 于是有，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用对数型复合函数的单调性求参数，在分析出内层函数的单调性后，还应保证真数在相应的区间上恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16．已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解方程得或，只有一个根，因此方程要有两个解，结合函数图象可得．‎ ‎【详解】‎ 由得或，，只有一个根，因此方程要有两个非零解，作出的图象和直线，由图象可知当时，方程有两个非零解．‎ ‎∴的范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点与方程根的分布，解题时宜采用数形结合思想，把问题转化为直线与函数图象交点个数问题，从而通过作出函数图象得到参数取值范围．‎ ‎17．已知时，对任意，有恒成立，则的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件的为方程的根,化简为一元函数,再求取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为对任意，有恒成立，所以为方程的根,即,‎ 因为,所以或，即或.‎ ‎【点睛】‎ 在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ 三、解答题 ‎18．已知集合 .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若 ，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）计算得,求即可；（2）包含关系要分空集和非空两种情况讨论，本题中集合还要考虑不等式两根的大小，对分类讨论要做到不重不漏即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）,所以.‎ ‎（2）由（1）可知， 当时， ，符合题意；‎ ‎ 当时，，所以，所以，所以；‎ 当时，，所以，所以，所以，‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎19．已知函数（）‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】(1)先设,转化为二次函数，再根据二次函数性质求值域，（2）‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设,则,‎ ‎,‎ 即,‎ ‎(2) 设,则,而,‎ 所以当时, 函数取最小值，即,‎ 因为,所以,‎ 当时函数取最大值，为.‎ ‎【点睛】‎ 研究二次函数性质时，要注意对称轴与定义区间位置关系.‎ ‎20．已知.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】（1）用诱导公式化简，对齐次式的分子分母同除以，变为的式子，代入已知可求值；‎ ‎（2）观察已知角与未知角的关系，用诱导公式及同角关系中的平方关系计算．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎（1）；‎ ‎（2），，‎ 又，∴，‎ ‎∴．‎ ‎.‎ ‎．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和同角间的三角函数关系，牢记三角函数公式是解题基础．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若为奇函数，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，判断在上的单调性并用定义证明；‎ ‎（3）若对任意的，总有成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) 在上递增,证明见解析 (3) ‎ ‎【解析】（1）由求得，并代入检验即可；‎ ‎（2）分离常数得，可判断在上递增.再根据单调性的定义证明即可；‎ ‎（3）题意为，按分类讨论求最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 经检验得：当时，为奇函数；‎ ‎（2）由（1），在上递增.‎ 证明：设，则，∴，，‎ ‎∴，即，∴在上是增函数；‎ ‎（3）即.，‎ ‎①，；②时，，成立；‎ ‎③；‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数为奇函数，若存在，则．单调性的证明一定要按照定义进行证明，即在单调区间内设，证明（或）．含有参数的函数在研究单调性时要分类讨论．‎ ‎22．已知，.‎ ‎（1）若，求的值域;‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求实数的取值范围;‎ ‎（3）当时，对任意的,在上的最大值与最小值的差不超过2，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】（1）求出的最大值为1，由得值域；‎ ‎（2）原方程等价于，即且，分①，②时，③当时，方程有两根，其中只有一个是原方程的解，即满足；‎ ‎（3）在上是增函数，因此有，，整理得，注意，因此求得的最小值后可得关于的不等关系．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），当时，，；‎ ‎（2）由题意 即 当时，,不符合 当即时，,也不符合 当时，方程的解为 ‎ 若是方程的解，需,解得或 若是方程的解，需即 ‎（3）当时，对任意的，在上单调递增 ‎，整理得 又 的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的性质，考查对数型函数的最值，考查解对数方程，解题时时刻注意对数的真数大于0这个条件是正确解题的必要条件．‎