2018-2019学年内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．两数与的等比中项是（ ） ‎ A．1 B．－1 C．±1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设两数的等比中项为，等比中项为-1或1‎ ‎【考点】等比中项 ‎2．不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将不等式变形为，从而得到解集。‎ ‎【详解】‎ 将不等式化为，解得，‎ 所以解集为 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解不等式，属于基础题。‎ ‎3．直线的倾斜角为（ ）．‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】B ‎【解析】将直线化成斜截式，前系数即为直线斜率，通过斜率求倾斜角。‎ ‎【详解】‎ 将直线化成斜截式得，所以直线斜率为 ‎，设直线的倾斜角是，则，即， 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于简单题。‎ ‎4．已知直线的斜率是，在轴上的截距是，则此直线方程是（　　）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知直接写出直线方程的斜截式得答案．‎ 解：∵直线的斜率为2，在y轴上的截距是﹣3，‎ ‎∴由直线方程的斜截式得直线方程为y=2x﹣3，‎ 即2x﹣y﹣3=0．‎ 故选：A．‎ ‎【考点】直线的斜截式方程．‎ ‎5．若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.‎ ‎【详解】‎ 解：选项A：取，此时满足条件，则，显然，所以选项A错误；‎ 选项B：取，此时满足条件，则，显然，所以选项B错误；‎ 选项C：因为，所以，因为，所以，‎ 选项C正确；‎ 选项D：取，当，则，所以 ‎，所以选项D错误；‎ 故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.‎ ‎6．已知，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据已知条件求得的值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，由及，解得，故，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，甲所得为（ ）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎【答案】B ‎【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则 ‎,故选B.‎ ‎8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，不等式恒成立，‎ 对一切非零实数均成立，‎ 由于 当且仅当时取等号，‎ 故的最小值等于 则实数的取值范围为 故答案选 ‎9．一船以每小时km的速度向东行驶，船在处看到一灯塔在北偏东，行驶4小时后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ）‎ A．60km B．km C．km D．30km ‎【答案】A ‎【解析】分析：画出示意图，根据题中给出的数据，解三角形可得所求的距离．‎ 详解：画出图形如图所示，‎ 在中，，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴船与灯塔的距离为60km．‎ 故选A．‎ 点睛：用解三角形的知识解决实际问题时需注意以下几点：‎ ‎（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件足够的三角形，然后逐步求解其他三角形，最后可得所求．‎ ‎10．已知等差数列的公差，前项和为，若对所有的，都有，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由，都有，再根据等差数列的性质即可判断.‎ 详解：由，都有，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：D.‎ 点睛：利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量.‎ ‎11．已知正数满足，则的最小值为（ ）‎ A．5 B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意将已知条件等价转化为，故而可得，利用基本不等式即可得结果.‎ 详解：∵正数满足，∴，‎ ‎∴‎ 当且仅当即，时，等号成立，即的最小值为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎12．在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由余弦定理及三角形面积公式可得和，结合条件，可得，进而得，由正弦定理可得结果。‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理得，，‎ 所以 又，，‎ 所以有，‎ 即，所以，‎ 由正弦定理得，，得 所以外接圆的面积为。答案选D。‎ ‎【点睛】‎ 解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路。‎ 二、填空题 ‎13．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设与直线垂直的直线方程为，根据直线过点，即可求得直线方程.‎ 解析：由题意，设与直线垂直的直线方程为，‎ 直线过点，‎ 直线的方程为：.‎ 故答案为：.‎ 点睛：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，‎ ‎（1）若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．‎ ‎（2）若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.‎ ‎2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.‎ ‎14．若等比数列满足，则=____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将由等比数列的通项公式表示，进而求得.‎ ‎【详解】‎ 等比数列满足 所以，解得 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式，属于简单题。‎ ‎15．的内角的对边分别为，已知.则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用三角形内角和公式将转化，再利用降幂公式得出 ‎，最后根据同角三角函数关系式得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得：或，‎ 因为 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了降幂公式、同角三角函数关系式等知识，将角转化为角是解题的前提，利用降幂公式等将题意转化为方程问题是解题的关键.‎ ‎16．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 当直线过原点时，设直线方程为，则，‎ 直线方程为，即，‎ 当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：.‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（1）an=2n−1.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数；‎ ‎（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。‎ ‎【答案】（Ⅰ）y=225x+‎ ‎（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。‎ ‎【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+‎ ‎（2）‎ ‎．当且仅当225x=时，等号成立．‎ 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用 ‎19．在中， 分别是角的对边，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积。‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦,去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简,再由诱导公式变形求出的值,即可确定出的大小;‎ ‎（Ⅱ）由的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将以及的值代入求出ac的值,再由的值,利用三角形面积公式即可求出面积.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由，‎ 得.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎20．数列满足. ‎ ‎（1）设，求证：为等差数列； ‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】分析：（1），所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）知,从而 ‎，利用分组求和及错位相减求和法，结合等比数列求和公式可得结果.‎ 详解：（1）由题意，，‎ 所以是首项为1，公差为1的等差数列.‎ ‎（2）由（1）知,从而 令,‎ 两式相减有 所以 点睛：本题主要考查等差数列的定义与等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎21．已知直线 ‎（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围。‎ ‎（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程。‎ ‎【答案】（1）k≥0；（2）面积最小值为4，此时直线方程为：x﹣2y+4=0‎ ‎【解析】（1）可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意，从而可解得k的取值范围；‎ ‎（2）依题意可求得A（﹣，0），B（0，1+2k），S=（4k++4），利用基本不等式即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，‎ 要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是：k≥0‎ ‎（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：﹣，在y轴上的截距为1+2k，‎ ‎∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，‎ ‎∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时取等号，‎ 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0‎ ‎【点睛】‎ 本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎22．已知数列满足： ，且.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）设是数列的前项和，若对任意都成立．试求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值，计算首项为即可证得数列为等比数列；‎ ‎(2)原问题转化为对任意的都成立，分类讨论可得：实数的取值范围是．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即，‎ 则 ‎ ‎ ．‎ 又 ，‎ 要使对任意的都成立，‎ 即（）对任意的都成立．　‎ ‎①当为正奇数时，由（）得，，‎ 即，‎ 因为，‎ 所以对任意的正奇数都成立，‎ 当且仅当时，有最小值1，‎ 所以．‎ ‎②当为正偶数时，由（）得，‎ ‎，‎ 即，‎ 因为，‎ 所以对任意的正偶数都成立．‎ 当且仅当时，有最小值，所以．‎ 综上所述，存在实数，使得对任意的都成立，‎ 故实数的取值范围是．‎