2017-2018学年四川省成都外国语学校高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年四川省成都外国语学校高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省成都外国语学校高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．1．抛物线的准线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线,满足，所以，则.‎ 所以准线方程是.‎ 故选A.‎ ‎2．从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是 ‎ A. 中位数为62 B. 中位数为65 C. 众数为62 D. 众数为64‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为 ‎∴中位数为，众数为 故选C ‎3．命题“， ”的否定是( )‎ A. 不存在， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题的否定是 故选D ‎4．容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是 ‎ A. 样本数据分布在的频率为 B. 样本数据分布在的频数为40‎ C. 样本数据分布在的频数为40 D. 估计总体数据大约有分布在 ‎【答案】D ‎【解析】对于A. 样本数据分布在的频率为：，正确；‎ 对于B. 样本数据分布在的频数为，正确；‎ 对于C. 样本数据分布在的频数为，正确；‎ 对于D，样本数据分布在的频率为：，所以估计总体数据大约有分布在，D不正确.‎ 故选D.‎ ‎5．“”是“为椭圆方程”是( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若表示椭圆，则，且 ‎∴或者 故是为椭圆方程的必要不充分条件 故选B ‎6．已知函数，若在上随机取一个实数，则的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，解得.‎ 又，所以.‎ 则的概率为： .‎ 故选D.‎ ‎7．在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，‎ 所以动点在以A,B为焦点的椭圆上，其中 由余弦定理可得：， ‎ 整理得:，解得：.‎ 则的面积为.‎ 故选B.‎ ‎8．在2017年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格与销售额之间的一组数据如表所示：‎ 价格元 ‎(单位：元)‎ ‎8‎ 销售额 ‎(单位：千元)‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ 由散点图可知，销售额与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则 ( )‎ A. B. C. 40 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】.‎ 将代入，得.‎ 故选C.‎ ‎9．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点 且垂直于轴的直线与双曲线相交于不同的两点， ，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的右顶点为,左焦点为F, ‎ 过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于， 两点， .‎ 若为锐角三角形，‎ 只要为锐角,即；‎ 所以有，‎ 即,即： ‎ 解出，‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．‎ ‎10．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】执行程序：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ 共执行了5次循环体，结束循环，所以.‎ 故选D.‎ ‎11．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.若点满足且，则的最小值为( )‎ A. 3 B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得： ,‎ 由，得，所以.‎ 又因为.‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎12．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点， ，与抛物线的准线相交于点，且，记与的面积分别为， ，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x=−,‎ 分别过A. B作准线的垂线，垂足分别为D.E，连结AD、BE、AF.‎ genju 设,直线AB的方程为,与联立消去y，‎ 得,所以，‎ ‎∵|BF|=2,∴根据抛物线的定义,得|BF|=|BE|=+=3,解得=.‎ 由此可得,所以|AD|=+=，‎ ‎∵△CAD中,BE∥AD,∴.‎ 故选：A.‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出,本题就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ 二、填空题 ‎13．若直线为双曲线的一条渐近线，则____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵双曲线 ‎∴‎ ‎∴渐近线方程为 ‎∵直线为双曲线的一条渐近线 ‎∴‎ 故答案为1‎ ‎14．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数为____________.‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】试题分析：该校教师人数为2400× (人)．‎ ‎【考点】分层抽样方法.‎ ‎15．如图所示的程序框图的算法思路源于宋元时期数学名著《算法启蒙》中的“松竹并生”问题.若输入的， 的值分别为，3，则输出的的值为____________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】输入 进入循环， ，不满足 执行循环， ，不满足 执行循环， ，满足，输出 故答案为3‎ ‎16．若经过坐标原点的直线与圆相交于不同的两点， ，则弦的中点的轨迹方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设当直线l的方程为，‎ 与圆联立方程组,消去y可得： ，‎ 由,可得.‎ 由韦达定理,可得，‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中，‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为： ,其中.‎ 故答案为： .‎ 点睛：求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．‎ ‎（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．‎ ‎（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．‎ 三、解答题 ‎17．甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球.‎ ‎(1)从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率；‎ ‎(2)从甲，乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.‎ ‎【答案】(1) 从甲袋中任取两球，取出的两球颜色不相同的概率为;(2) 从甲，乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同的概率为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出取出两球的种数，再根据分类和分步计数原理求出一只黑球一只红球的种数，根据概率公式计算即可；（2）分为同是黑色，红色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．‎ 试题解析：（1）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为.‎ 从甲袋中任取两球，所有可能的结果有共6种.‎ 其中两球颜色不相同的结果有共3种.‎ 记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件，则 ‎∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为.‎ ‎（2）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有 ‎ 共12种.‎ 其中两球颜色相同的结果有共5种 记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件，则 ‎∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为.‎ ‎18．已知命题：若关于的方程无实数根，则；命题：若关于的方程有两个不相等的正实数根，则.‎ ‎(1)写出命题的否命题，并判断命题的真假；‎ ‎(2)判断命题“且”的真假，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) 命题为真命题;(2) 命题“且”为真命题.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据否命题的定义，否定题设也否定结论，求出的否命题即可；（2）先判断出命题， 的真假，从而判断出复合命题的真假即可．‎ 试题解析：（1）解 ：命题的否命题：若关于的方程有实数根，则或.‎ ‎∵关于的方程有实根 ‎∴‎ ‎∵，‎ 化简，得，解得或.‎ ‎∴命题为真命题.‎ ‎（2）对于命题：若关于的方程无实数根，‎ 则 化简，得，解得.‎ ‎∴命题为真命题.‎ 对于命题：关于的方程有两个不相等的正实根，‎ 有，解得 ‎∴命题为真命题 ‎∴命题“且”为真命题.‎ ‎19．阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：‎ ‎（1）求输入的的值分别为，时，输出的的值；‎ ‎（2）根据程序框图，写出函数（）的解析式；并求当关于的方程有三个互不相等的实数解时，实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)，；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据框图中条件语句，判断变量执行哪个函数，计算求解即可；‎ ‎（2）由框图可知，分析分段函数的单调性，进而可得解.‎ 试题解析：‎ ‎(1)当输入的的值为时，输出的.‎ 当输入的的值为2时，输出的.‎ ‎(2)根据程序框图，可得，‎ 当时，，此时单调递增，且；‎ 当时，；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 ‎.‎ 结合图象，知当关于的方程有三个不同的实数解时，实数的取值范围为.‎ ‎20．已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线相交于不同的两点， ，与抛物线的准线相交于不同的两点， ，且.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点， ，且满足.证明直线过定点，并求出点的坐标.‎ ‎【答案】(1) 抛物线的方程为;(2) 直线过定点,证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，得两点所在的直线方程为，进而根据长度求得；‎ ‎（2）设直线的方程为， 与抛物线联立得，由得，进而利用韦达定理求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知， ，则两点所在的直线方程为 则，故 ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，‎ ‎.‎ 联立消去，得.‎ ‎∴， ， ，‎ ‎∵，∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解得或 而，∴（此时）‎ ‎∴直线的方程为，‎ 故直线过轴上一定点.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎21．一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如表：‎ 网购金额 ‎(单位：千元)‎ 频数 频率 ‎3‎ ‎9‎ ‎15‎ ‎18‎ 合计 ‎60‎ 若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”，已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为.‎ ‎（1）确定，，，的值，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.‎ ‎【答案】(1) ，,图见解析；（2）网店当日不能被评为“皇冠店”.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，得，从而得解；‎ ‎（2）由频率分布直方图的每一个小矩形的面积乘以横坐标的中点值求和得平均数，中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，进而比较即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意，得，‎ 化简，得，‎ 解得，.‎ ‎∴，.‎ 补全的频率分布直方图如图所示：‎ ‎(2)设这60名网友的网购金额的平均数为.‎ 则(千元)‎ 又∵，.‎ ‎∴这60名网友的网购金额的中位数为(千元)，‎ ‎∵平均数，中位数，‎ ‎∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.‎ ‎22．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比值为常数，记动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)若直线与曲线相交于不同的两点， ，直线与曲线相交于不同的两点 ，且，求以， ， ， 为顶点的凸四边形的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）曲线的方程为；（2）四边形的面积的最大值为4.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设，根据题意，动点的轨迹为集合，得，化简求解即可；‎ ‎（2）联立消去，得，利用两点距离公式及韦达定理求得，同理可得，由得，设两平行线间的距离为， 代入求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，动点到直线： 的距离为，‎ 根据题意，动点的轨迹为集合 由此，得 化简，得 ‎∴曲线的方程为.‎ ‎（2）设 联立消去，得.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 同理可得 ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，∴‎ 由题意，以为顶点的凸四边形为平行四边形 设两平行线间的距离为，则 ‎∵，∴‎ 则 ‎∵（当且仅当时取等号，此时满足），‎ ‎∴四边形的面积的最大值为4.‎