【数学】2019届一轮复习人教A版（文）直线、平面平行的判定及性质学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）直线、平面平行的判定及性质学案

第4讲　直线、平面平行的判定及性质 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　直线与平面平行 ‎1．判定定理 ‎2．性质定理 考点2　平面与平面平行 ‎1．判定定理 ‎2．性质定理 ‎ [必会结论]‎ ‎1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.‎ ‎2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.‎ ‎3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.‎ ‎[考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)‎ ‎(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)‎ ‎(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)‎ ‎(4)平行于同一平面的两条直线平行．(　　)‎ ‎(5)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2．[2018·乌鲁木齐二诊]已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若l∥α，则l与α内的直线平行或异面；若l∥m，l不在平面α内，则l∥α，所以“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎3．[2018·湖南长沙模拟]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥α C．m⊥α，m⊥β，则α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 答案　C 解析　对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A不正确；‎ 对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B不正确；‎ 对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；‎ 对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C.‎ ‎4．[2017·全国卷Ⅰ]如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ 答案　A 解析　A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．‎ B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，‎ ‎∴AB∥MQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，‎ ‎∴AB∥NQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，‎ ‎∴AB∥平面MNQ.‎ 故选A.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　有关平行关系的判断　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　[2016·全国卷Ⅱ]α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号)‎ 答案　②③‎ 解析　由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错．易知②③都正确．‎ 触类旁通 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意 ‎(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视．‎ ‎ (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．‎ ‎【变式训练1】　[2018·潍坊模拟]已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是(　　)‎ A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2‎ 答案　D 解析　由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.‎ 考向　直线与平面平行的判定与性质　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 命题角度1　用线线平行证明线面平行 例2　[2016·全国卷Ⅲ]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体N－BCM的体积．‎ 解　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.‎ 取BC的中点E，连接AE.‎ 由AB＝AC＝3，得AE⊥BC，AE＝＝.‎ 由AM∥BC，得M到BC的距离为，‎ 故S△BCM＝×4×＝2.‎ 所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝·S△BCM·＝.‎ 命题角度2　用线面平行证明线线平行 例3　[2018·长春一调]如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．‎ ‎(1)求证：EA⊥EC；‎ ‎(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.‎ 求证：EF∥AB.‎ 证明　(1)∵E是半圆上异于A，B的点，‎ ‎∴AE⊥EB.‎ 又∵平面ABCD⊥平面ABE，‎ 平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，‎ ‎∴CB⊥平面ABE.‎ 又∵AE⊂平面ABE，‎ ‎∴CB⊥AE.‎ ‎∵BC∩BE＝B，‎ ‎∴AE⊥平面CBE.‎ 又∵EC⊂平面CBE.‎ ‎∴AE⊥EC.‎ ‎(2)∵CD∥AB，AB⊂平面ABE.‎ ‎∴CD∥平面ABE.‎ 又∵平面CDE∩平面ABE＝EF.‎ ‎∴CD∥EF.‎ 又∵CD∥AB.‎ ‎∴EF∥AB.‎ 触类旁通 判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ 考向　面面平行的判定及性质　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例4 [2018·云南模拟]如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.‎ ‎(1)求几何体ABCDFE的体积；‎ ‎(2)证明：平面ADE∥平面BCF.‎ 解　(1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.‎ ‎∵AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，‎ ‎∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.‎ ‎∵AO＝FG＝，‎ ‎∴VABCDFE＝×4××2＝.‎ ‎(2)证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，‎ ‎∴四边形AOFG为平行四边形，‎ ‎∴AG∥OF.‎ 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE，AG⊂平面ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，‎ ‎∴平面ADE∥平面BCF.‎ 触类旁通 判定面面平行的方法 ‎(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．‎ ‎(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．‎ ‎(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．‎ ‎【变式训练2】　如图所示，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点．求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A‎1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B‎1C1的中位线，∴GH∥B‎1C1.‎ 又∵B‎1C1∥BC，∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A‎1G綊EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ ‎∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 核心规律 ‎1.平行问题的转化关系 ‎2.判断直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．‎ 满分策略 证明平行问题应注意的三个问题 ‎(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．‎ ‎(2)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．‎ ‎(3)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.‎ 板块三　启智培优·破译高考 规范答题系列 4——证明线面平行的两种常用方法 ‎[2015·山东高考]如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．‎ 求证：BD∥平面FGH.‎ 解题视点　证法一：证明四边形DFCG为平行四边形，结合H为BC的中点，M为DC的中点，可得HM∥BD，进而得BD∥平面FGH；证法二：利用四边形HBEF为平行四边形，证明平面ABED∥平面FGH，进而得BD∥平面FGH.‎ 证明　证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.‎ 又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.‎ 证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，‎ 所以四边形HBEF为平行四边形，BE∥HF.‎ 在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，‎ 所以GH∥AB.‎ 又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.‎ 因为BD⊂平面ABED，‎ 所以BD∥平面FGH.‎ ‎[答题模板]　证明线面平行问题的答题模板(一)‎ 第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；‎ 第二步：证明线线平行；‎ 第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；‎ 第四步：反思回顾，检查关键点及答题规范．‎ 证明线面平行问题的答题模板(二)‎ 第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；‎ 第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；‎ 第三步：证明所作平面与所证平面平行；‎ 第四步：转化为线面平行；‎ 第五步：反思回顾，检查答题规范．‎ 跟踪训练 如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点N在BD上，点M在B‎1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.‎ 证明　证法一：如右图，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交AB于F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B.‎ ‎∵BD＝B‎1C，DN＝CM，‎ ‎∴B‎1M＝BN.‎ ‎∵＝，＝，‎ ‎∴＝＝，∴ME＝NF.‎ 又ME∥BC∥AD∥NF，‎ ‎∴四边形MEFN为平行四边形．∴NM∥EF.‎ 又∵MN⊄面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B，‎ ‎∴MN∥平面AA1B1B.‎ 证法二：如图所示，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B.‎ ‎∵△NDC∽△NBP，‎ ‎∴＝.又CM＝DN，‎ B‎1C＝BD，＝＝，∴MN∥B1P.‎ ‎∵B1P⊂平面AA1B1B，MN⊄平面AA1B1B，‎ ‎∴MN∥平面 AA1B1B.‎ 证法三：如下图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接NP.‎ BB1⊂平面ABB‎1A1，MP⊄平面ABB‎1A1，‎ ‎∴MP∥平面ABB‎1A1.‎ ‎∵MP∥BB1，∴＝.‎ ‎∵BD＝B‎1C，DN＝CM，‎ ‎∴B‎1M＝BN.∵＝，‎ ‎∴＝，∴NP∥DC∥AB.‎ AB⊂平面ABB‎1A1，NP⊄平面ABB‎1A1，‎ ‎∴NP∥平面ABB‎1A1，‎ 又∵MP∩NP＝P，‎ ‎∴平面MNP∥平面AA1B1B，‎ ‎∴MN∥平面AA1B1B.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·嘉兴月考]对于空间的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案　D 解析　对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故选D.‎ ‎2．[2018·揭阳模拟]设平面α，β，直线a，b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由平面与平面平行的判定定理可知，若直线a，b是平面α内两条相交直线，且有“a∥β，b∥β”，则有“α∥β”；当“α∥β”，若a⊂α，b⊂α，则有“a∥β，b∥β”，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎3．过三棱柱ABC－A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1A1平行的直线的条数是(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ 答案　C 解析　取A‎1C1，B‎1C1，AC，BC的中点E，F，G，H，易知平面EFHG∥平面ABB‎1A1，所以满足条件的直线有EF，FG，GH，HE，EG，FH，共6条直线．故选C.‎ ‎4．[2015·安徽高考]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 答案　D 解析　A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故选D.‎ ‎5.在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 答案　A 解析　由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.‎ ‎6．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．‎ 可以填入的条件有(　　)‎ ‎①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ 答案　C 解析　由面面平行的性质定理可知①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C.‎ ‎7．[2018·云南统考]设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：‎ ‎①若a⊂α，b⊄α，a，b是异面直线，那么b∥α；‎ ‎②若a⊂α，b∥α，a，b共面，那么a∥b；‎ ‎③若α∥β，a⊂α，则a∥β.‎ 上面命题中，所有真命题的序号是________．‎ 答案　②③‎ 解析　①中的直线b与平面α也可能相交，故不正确；由线面平行的性质得②正确；由面面平行的性质可得③正确．‎ ‎8．正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为‎1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2.‎ 答案　 解析　如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，‎ ‎∴E为DD1的中点，‎ ‎∴S△ACE＝××＝(cm2)．‎ ‎9．[2018·延安模拟]已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，SB＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.‎ ‎(1)求实数λ的值；‎ ‎(2)求三棱锥F－EBC的体积．‎ 解　(1)连接AC交EB于M，连接FM.‎ ‎∵△MAE∽△MCB，‎ ‎∴＝＝，＝.‎ ‎∵SA∥平面BEF.平面SAC∩平面BEF＝FM.‎ ‎∴SA∥FM.‎ ‎∴＝＝，即λ＝.‎ ‎(2)∵SA＝SD＝，E为AD中点．‎ ‎∴SE⊥AD且SE＝2.‎ ‎∵BE＝，SB＝，∴SE2＋BE2＝SB2.‎ ‎∴SE⊥BE.∴SE⊥平面ABCD.‎ ‎∴VF－EBC＝VS－EBC＝VS－ABCD＝×2××2××2＝.‎ ‎10.[2016·山东高考]在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.‎ ‎(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；‎ ‎(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.‎ 证明　(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.‎ 连接DE，因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.‎ 同理可得BD⊥AC.‎ 又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.‎ 因为FB⊂平面BDEF，‎ 所以AC⊥FB.‎ ‎(2)设FC的中点为I.连接GI，HI.‎ 在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.‎ 又EF∥DB，所以GI∥DB.GI∥平面ABC.‎ 在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.HI∥平面ABC.‎ 又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.‎ 因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·大同模拟]设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2‎ C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α 答案　A 解析　由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．故选A.‎ ‎2．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A‎1M＝AN＝，则MN与平面BB‎1C‎1C的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案　B 解析　连接CD1，在CD1上取点P，使D1P＝，‎ ‎∴MP∥BC，PN∥AD1.‎ ‎∵AD1∥BC1，∴PN∥BC1.‎ ‎∴MP∥面BB‎1C‎1C，PN∥‎ 面BB‎1C‎1C.‎ ‎∴面MNP∥面BB‎1C‎1C，∴MN∥面BB‎1C‎1C.故选B.‎ ‎3.空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．‎ 答案　(8,10)‎ 解析　设＝＝k(0

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