【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第14讲导数与函数的单调性学案

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第14讲导数与函数的单调性学案

第14讲　导数与函数的单调性 函数的单调性与导数 导数到 单调性 单调递增 在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间上单调　　　 ‎ 单调递减 在区间(a,b)上,若f'(x)<0,则f(x)在这个区间上单调　　　 ‎ 单调性 到导数 单调递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)　　　 ‎ 单调递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)　　　 ‎ ‎“函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的　　　　条件 ‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 函数f(x)=ex-x的单调递增区间是　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] 比较大小:x　　　　ln x(x∈(1,+∞)). ‎ ‎3.[教材改编] 函数y=ax3-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为　　　　. ‎ ‎4.[教材改编] 已知f(x)是定义在R上的可导函数,函数y=ef'(x)的图像如图2-14-1所示,则f(x)的单调递减区间是　　　　. ‎ 图2-14-1‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.‎ ‎5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则k的取值范围是　　　　. ‎ ‎6.若函数f(x)=ln x-‎1‎x,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为　　　　. ‎ ‎7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为　　　　. ‎ ‎8.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,a应分　　　　、　　　　、　　　　三种情况讨论. ‎ 探究点一　函数单调性的判断或证明 例1 [2018·商丘二模] 已知函数f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中m为常数,且m>-e‎2‎.讨论函数f(x)的单调性.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [总结反思] 用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤:‎ ‎(1)求f'(x).‎ ‎(2)确认f'(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).‎ ‎(3)得出结论:f'(x)>0时,函数f(x)为增函数;f'(x)<0时,函数f(x)为减函数.‎ 变式题 已知函数f(x)=x+‎axex,a∈R.‎ ‎(1)求f(x)的零点;‎ ‎(2)当a≥-5时,求证:f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 探究点二　求函数的单调区间 例2 [2018·北京朝阳区一模] 已知函数f(x)=lnx-1‎x-ax(a∈R). ‎ ‎(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)若a<-1,求函数f(x)的单调区间.‎ ‎ ‎ ‎ [总结反思] (1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.‎ ‎(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.‎ 变式题 (1)函数f(x)=3ln x-4x+‎1‎‎2‎x2的单调递增区间为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(0,1),(3,+∞)‎ B.(1,3)‎ C.(-∞,1),(3,+∞)‎ D.(3,+∞)‎ ‎(2)函数f(x)=x+‎3‎x+2ln x的单调递减区间是　　　　. ‎ 探究点三　已知函数单调性确定参数的取值范围 例3 已知函数f(x)=x2+ln x-ax.‎ ‎(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可.如果能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.‎ ‎(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.‎ 变式题 (1)[2018·哈尔滨师大附中三模] 若函数f(x)=2x+sin x·cos x+acos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　)‎ A.[-1,1] ‎ B.[-1,3]‎ C.[-3,3] ‎ D.[-3,-1] ‎ ‎(2)若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是 (　　)‎ A.[0,+∞) ‎ B.(-∞,0]‎ C.(-∞,0) ‎ D.(0,+∞)‎ 探究点四　函数单调性的简单应用 例4 (1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)0,若13ln x+1的解集为　　　　. ‎ 第14讲　导数与函数的单调性 考试说明 1.了解函数单调性和导数的关系;‎ ‎2.能利用导数研究函数的单调性;‎ ‎3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 递增　递减　≥0　≤0　充分 对点演练 ‎1.(0,+∞)　[解析] 由f'(x)=ex-1>0,解得x>0,故其单调递增区间是(0,+∞).‎ ‎2.>　[解析] 设f(x)=x-ln x,x∈(1,+∞),则f'(x)=1-‎1‎x>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以f(x)=x-ln x>1>0,所以x>ln x.‎ ‎3.(-∞,0)　[解析] ∵y'=3ax2,函数在区间(-∞,+∞)上是减函数,‎ ‎∴y'≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即3ax2≤0恒成立,‎ ‎∴a≤0.∵当a=0时,y=-1,不是减函数,‎ ‎∴a<0,即a∈(-∞,0).‎ ‎4.(-∞,2]　[解析] 因为当x≤2时,ef'(x)≤1,所以当x≤2时,f'(x)≤0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2].‎ ‎5.[1,+∞)　[解析] 因为函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,所以f'(x)=k-‎1‎x≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥‎1‎x在(1,+∞)上恒成立,可得k≥1.‎ ‎6.‎1‎‎2‎‎,‎‎2‎‎3‎　[解析] 因为x∈(0,+∞),f'(x)=‎1‎x+‎1‎x‎2‎>0,所以函数f(x)=ln x-‎1‎x在(0,+∞)上为增函数,所以只需满足1-x>2x-1>0,解得‎1‎‎2‎0,得x<2,即函数f(x)的定义域为(-∞,2).‎ 易知f'(x)=1-‎1‎‎2-x,令f'(x)>0,可得‎1‎‎2-x<1,‎ 结合2-x>0,得2-x>1,解得x<1,‎ 即函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为(-∞,1).‎ ‎8.a>0　a=0　a<0　[解析] y'=3ax2-1,所以对a分a>0,a=0,a<0三种情况讨论比较合理.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨] 先对m进行分类讨论,再结合f'(x)的符号讨论函数f(x)的单调性.‎ 解:易知x∈(-∞,+∞),f'(x)=ex+1+(x-1)ex+1+2mx=x(ex+1+2m).‎ ‎①当m≥0时,∵ex+1>0,∴ex+1+2m>0.‎ ‎∴当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,f'(x)<0. ‎ 故f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.‎ ‎②当-e‎2‎x2.‎ 则当x>0时,f'(x)>0;‎ 当ln(-2m)-10.‎ 故f(x)在区间(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在区间(ln(-2m)-1,0)上单调递减.‎ 综上所述,当m≥0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;‎ 当-e‎2‎1),‎ 则g'(x)=3x2+2x+a,其图像的对称轴为直线x=-‎1‎‎3‎,‎ 所以g'(x)在(1,+∞)上单调递增,‎ 所以g'(x)>3×12+2×1+a=5+a.‎ 因为a≥-5,所以g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,‎ 所以g(x)在(1,+∞)上为增函数,‎ 可得g(x)>g(1)=2>0,即f'(x)>0,‎ 所以f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.‎ 例2　[思路点拨] (1)求出f(1)及f'(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义域内,令f'(x)>0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递增区间;令f'(x)<0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递减区间.‎ 解:(1)若a=0,则f(1)=-1,f'(x)=‎2-lnxx‎2‎,所以f'(1)=2,‎ 所以曲线y=f(x)在点(1,-1)处的切线方程为2x-y-3=0.‎ ‎(2)易知x∈(0,+∞),f'(x)=‎2-ax‎2‎-lnxx‎2‎.‎ 令g(x)=2-ax2-ln x,则g'(x)=‎-2ax‎2‎-1‎x.‎ 令g'(x)=0,得x=‎-‎‎1‎‎2a或x=-‎-‎‎1‎‎2a(舍去). ‎ 由g'(x)>0,得x>‎-‎‎1‎‎2a;由g'(x)<0,得00,即f'(x)>0,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).‎ 变式题　(1)A　(2)(0,1)　[解析] (1)f'(x)=‎3‎x-4+x=‎(x-1)(x-3)‎x,由f'(x)>0,得03,∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+∞).‎ ‎(2)函数f(x)的定义域是(0,+∞),‎ f'(x)=1-‎3‎x‎2‎+‎2‎x=‎(x+3)(x-1)‎x‎2‎.‎ 令f'(x)<0,可得00可得单调递增区间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可.‎ 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=3时,f(x)=x2+ln x-3x,‎ ‎∴f'(x)=2x+‎1‎x-3=‎2x‎2‎-3x+1‎x,‎ 由f'(x)>0,得01,‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为‎0,‎‎1‎‎2‎,(1,+∞).‎ ‎(2)由题意得f'(x)=2x+‎1‎x-a.‎ ‎∵f(x)在(0,1)上是增函数,‎ ‎∴f'(x)=2x+‎1‎x-a≥0在(0,1)上恒成立,‎ 即a≤2x+‎1‎x在(0,1)上恒成立.‎ ‎∵2x+‎1‎x≥2‎2‎,当且仅当2x=‎1‎x,即x=‎2‎‎2‎时,等号成立,‎ ‎∴a≤2‎2‎,‎ 故实数a的取值范围为(-∞,2‎2‎].‎ 变式题　(1)A　(2)C　[解析] (1)∵f(x)=2x+sin x·cos x+acos x,‎ ‎∴f'(x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3.‎ 设t=sin x,-1≤t≤1,‎ 则g(t)=-2t2-at+3, ‎ ‎∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,‎ ‎∴g(t)≥0在[-1,1]上恒成立.‎ ‎∵二次函数g(t)的图像开口向下,‎ ‎∴g(1)≥0,‎g(-1)≥0,‎可得-1≤a≤1,即a的取值范围是[-1,1],故选A.‎ ‎(2)函数f(x)=x+aln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ax.当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)=x+aln x是增函数.当a<0时,由f'(x)<0,得00,得x>-a,所以函数f(x)=x+aln x在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.因为f(x)=x+aln x不是单调函数,所以实数a的取值范围是(-∞,0),故选C.‎ 例4　[思路点拨] (1)构造函数g(x)=f(x)‎ex,通过g'(x)的符号判断函数g(x)的单调性,利用单调性得出x的取值范围;(2)先根据函数图像的平移得到函数f(x)的图像关于直线x=2对称,再通过讨论导数的符号得到函数f(x)的单调性,最后将4a,log3a,3转化到同一个单调区间上比较其对应函数值的大小.‎ ‎(1)A　(2)B　[解析] (1)设g(x)=f(x)‎ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)‎ex,∵f(x)0,‎ 即函数g(x)在R上单调递增.∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,‎ 则不等式f(x)<2ex等价于g(x)0,‎ ‎∴当x>2时,f'(x)>0,‎ 即函数f(x)在(2,+∞)上为增函数.‎ ‎∵10),则f'(x)=‎1-lnxx‎2‎,‎ 可得函数f(x)在(0,e)上单调递增,所以f(2.1)3ln x+1等价于f(t)>3t+1.‎ 设g(x)=f(x)-3x-1,则g'(x)=f'(x)-3,‎ ‎∵f(x)的导函数f'(x)<3,‎ ‎∴g'(x)=f'(x)-3<0,‎ ‎∴函数g(x)=f(x)-3x-1在R上单调递减.‎ ‎∵f(2)=7,∴g(2)=f(2)-3×2-1=0,‎ 则由g(t)=f(t)-3t-1>0=g(2),解得t<2,‎ ‎∴ln x<2,解得03ln x+1的解集为(0,e2).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【备选理由】 例1讨论函数的单调性;例2可以进一步明确不等式f'(x)>0的解集对应的区间是函数f(x)的单调递增区间,不等式f'(x)<0的解集对应的区间是f(x)的单调递减区间;例3为含参函数单调性的讨论及利用单调性求参的综合问题,旨在使学生加深对导数与单调性关系的理解,并强化处理参数问题的原则和方法.‎ 例1　[配合例1使用] 已知函数f(x)=(x-a)ex-‎1‎‎2‎ax2+a(a-1)x(x∈R).‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为l,l与x轴的交点坐标为(2,0),求a的值;‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性.‎ 解:(1)∵f'(x)=(x-a)ex+ex-ax+a(a-1),‎ ‎∴f'(0)=(a-1)2,‎ 又∵f(0)=-a,‎ ‎∴切线方程为y+a=(a-1)2(x-0).‎ 令y=0,得x=a‎(a-1‎‎)‎‎2‎=2,‎ ‎∴2a2-5a+2=0,∴a=2或a=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)f'(x)=(x-a)ex+ex-ax+a(a-1)=[x-(a-1)](ex-a).‎ 当a≤0时,ex-a>0,若x∈(-∞,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.‎ 当a>0时,令f'(x)=0,得x1=a-1,x2=ln a.‎ 令g(a)=a-1-ln a,则g'(a)=1-‎1‎a=a-1‎a,‎ 当a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)为减函数,当a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,g(a)为增函数,‎ ‎∴g(a)min=g(1)=0,‎ ‎∴a-1≥ln a(当且仅当a=1时取“=”).‎ ‎∴当01时,若x∈(-∞,ln a),则f'(x)>0,f(x)为增函数;若x∈(ln a,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.‎ 当a=1时,f'(x)=x(ex-1)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.‎ 综上所述:当a≤0时,f(x)在(-∞,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数;当01时,f(x)在(ln a,a-1)上为减函数,在(-∞,ln a)和(a-1,+∞)上为增函数;当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.‎ 例2　[配合例2使用] [2018·东莞模拟] 已知函数f(x)=ax2e-x(a≠0),求函数f(x)的单调区间.‎ 解:对f(x)求导,得f'(x)=a·‎2x·ex-x‎2‎·‎ex‎(‎ex‎)‎‎2‎=a·x(2-x)‎ex.‎ ‎①若a>0,则当x∈(0,2)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,‎ 所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减.‎ ‎②若a<0,则当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,‎ 所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增.‎ 例3　[配合例3使用] [2018·重庆七校期末] 已知函数f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n为常数).‎ ‎(1)当n=1时,讨论函数g(x)=exf(x)的单调性;‎ ‎(2)当n=2时,若函数h(x)=x+f(x)‎ex在[0,+∞)上单调递增,求m的取值范围.‎ 解:(1)当n=1时,g(x)=ex[x2+(m+2)x+1],‎ g'(x)=ex[x2+(m+4)x+(m+3)]=ex(x+1)[x+(m+3)].‎ 令g'(x)=0,解得x=-1或x=-(m+3).‎ ‎∴当-1<-(m+3),即m<-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-m-3,+∞),单调递减区间为(-1,-m-3);‎ 当-1=-(m+3),即m=-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;‎ 当-1>-(m+3),即m>-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-m-3),(-1,+∞),单调递减区间为(-m-3,-1).‎ ‎(2)当n=2时,h(x)=x+x‎2‎‎+(m+2)x+2‎ex,‎ h'(x)=1+‎-x‎2‎-mx+mex.‎ 由题意知,h'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,‎ 即ex-x2≥m(x-1)在[0,+∞)上恒成立.‎ 当x=1时,不等式成立.‎ 当x≠1时,令k(x)=ex‎-‎x‎2‎x-1‎,则k'(x)=‎(x-2)(ex-x)‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎. ‎ 当x>1时,只需k(x)≥m恒成立.‎ ‎∵ex-x>0恒成立(可求导证明),‎ ‎∴当12时,k'(x)>0,k(x)单调递增.‎ ‎∴k(x)≥k(2)=e2-4,∴m≤e2-4.‎ 当0≤x<1时,只需k(x)≤m恒成立.‎ ‎∵0≤x<1,∴k'(x)<0,∴k(x)单调递减,‎ ‎∴k(x)≤k(0)=-1,∴m≥-1.‎ 综上所述,-1≤m≤e2-4.‎