人教A数学必修二 空间几何体 空间几何体的表面积与体积 学习过程

人教A数学必修二 空间几何体 空间几何体的表面积与体积 学习过程

空间几何体的表面积和体积 学习过程 知识点1：直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式 直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算，可以先计算其侧面积，然后加上它们的底面积。‎ 从侧面展开图可知：直棱柱侧面积．‎ 正棱锥侧面积．底面周长为，斜高为 正棱台侧面积 上、下底面的周长分别为，斜高为 知识点2：圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。‎ 圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，‎ 侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。‎ 圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长， 侧面展开图扇环中心角为，S=，S=. ‎ 知识点3：柱、锥、台的体积计算公式 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积和高的积，即．‎ 棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为，高为的棱柱的 体积，所以．‎ 台体的体积公式： （S，分别上、下底面积，h为高）‎ ‎ → （r、R分别为圆台上底、下底半径）‎ 知识点4：球的表面积和体积 球的表面积由它的半径R唯一确定，即S=4R2. （R为球的半径）‎ 球的体积也由它的半径R唯一确定，即V= （R为球的半径）‎ 学习结论 ‎ 1．从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式。‎ ‎ 2．完全相同的几何体，他们的体积相等。‎ ‎ 3．一个几何体的体积等于他个部分的体积之和。‎ ‎ 4．解答多面体表面上两点间最短线路问题，一般都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段的长。 ‎ 典型例题 例1、一个长‎10厘米、宽‎3厘米的长方形，以长边为轴，旋转一周，可以得到一个什么样的立体图形？它的表面积、体积各是多少？（取3.14，结果保留整数数位） 解析：（1）表面积： 　　解法一：S =2πr2+2πrh 　　　　　　　=2×3.14×32+2×3.14×3×10 　　　　　　　=56.52+188.4 　　　　　　　≈245（平方厘米） 　　解法一的算式：2×3.14×32+2×3.14×3×10中的2×3.14×3是相同因数。3和10是不同因数。根据乘法分配律可得到第二种解法： 　　解法二：S =2πr×(h+r) 　　　　　　　=2×3.14×3×(10+3) 　　　　　　　=18.84×13 　　　　　　　≈245(平方厘米) 　　（2）体积：V=πr2h 　　　　　　　　=3.14×32×10≈283（立方厘米）‎ 例2、有一根长为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁些在铁管上缠绕圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到）‎ 解析：把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形，如图所示．‎ 由题意知点与点就是铁丝的起止位置，故线段的长度即为铁丝的最短长度．‎ 答：铁丝的最短长度约为．‎ 说明：教学是可分步解决：先研究绕1圈时最短长度是多少，绕2圈时最短长度是多少，最后研究绕4圈时最短长度是多少．‎ 例3、在长方体用截面截下一个棱锥，求的体积与剩余部分的体积之比．‎ 解析：将长方体看成四棱柱，‎ 设它的底面的面积为，高为，则它的 体积为．棱锥的底面积为，‎ 高为，因此棱锥的体积．‎ 所以棱锥的体积与剩余部分的体积之比为．‎ 说明：棱柱的体积等于底面积与高的乘积，而长方体的各个面均可以作为底面，因此可以灵活“选底”．‎ 例4、 一个正方体内接于半径为的球内，求正方体的体积．‎ 解析：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，‎ 设正方体的棱长为，则．所以，正方体的体积为 ‎．‎