数学理卷·2017届河北省邯郸市高三上学期质量检测（2016

数学理卷·2017届河北省邯郸市高三上学期质量检测（2016

河北省邯郸市2017届高三上学期质量检测 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 若，则的值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎4.已知为数列的前项和，若且，则等于（ ）‎ A．6 B．12 C. 16 D．24‎ ‎5. 直线与双曲线的左支、右支分别交于两点，为坐标原点，且为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若函数在区间上递减，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A．4 B．8 C. 16 D．32‎ ‎8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A．6 B．9 C. 12 D．18‎ ‎9.设满足约束条件若，则仅在点处取得最大值的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，且的最小值为，则等于（ ）‎ A．4 B． C. 5 D．‎ ‎11.已知这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数的图象的一条对称轴方程可以为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数若关于的方程存在2个实数根，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中的系数为 ．‎ ‎14.随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为，已知向量，设，则的数学期望 ．‎ ‎15.在公差大于1的等差数列中，已知，则数列的前20项和为 ．‎ ‎16.已知四面体的每个顶点都在球的表面上，,底面，为的重心，且直线与底面所成角的正切值为，则球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在中，内角的对边分别是，已知.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）求的最小值，并确定此时的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：‎ ‎（1）试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？‎ ‎（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；‎ ‎（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.‎ 相关公式：.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，为线段上一点，且，点分别为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面与直线交于点，求二面角的余弦值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点垂直于的直线与轴交于点，且，求的值.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）若，求的最大值；‎ ‎（3）求证：当时，.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1.A .‎ ‎2.A ∵,∴.‎ ‎3.C ∵，∴.‎ ‎4.B ∵，∴，∴，∴，∴.‎ ‎5.B 由为等腰直角三角形得，，∴.联立与得,∴点的坐标为，则，∴‎ ‎6.D 结合复合函数的单调性可得的递减区间为，∴，∴，又，∴.‎ ‎7.C ‎ ‎，则输出.‎ ‎8.B 该几何体是一个直三棱柱切去右上方部分所得，如下图所示，其体积为.‎ ‎9.B 作出不等式组表示的可行域，可知点为直线与的交点，所以数形结合可得直线的斜率，即.故由几何概型可得所求概率为.‎ ‎10.D 设，‎ 则 ‎，‎ 当（∵，∴）时，取得最小值 又，则.易知点在抛物线上，则.‎ ‎11.C ，由得，∴，‎ ‎，由图可知,在处没有意义的是曲线的图象,而的图象在上的第一个最高点为,从而, 的图象为在上先增后减的曲线,剩下的那条曲线就是 的图象.‎ ‎∵，∴,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令 故选 C.‎ ‎12.B 设 当时，递增，∴‎ 当时，，递减，∴.‎ 当时，，递减，∴.‎ 作出的图象，由图可知，当存在2个实数根.‎ ‎13. 的展开式中的项为.‎ ‎14. 4 ∵，∴，‎ ‎∴的分布列为 ‎∴.‎ ‎15. ∵，∴.∵，∴.‎ 当，不合题意.当，∴.‎ 故数列的前20项和为.‎ ‎16. 取的中点，连接，则，因为底面，所以直线与底面所成角为，则，所以，设外接圆的半径为，则，所以，从而球的表面积为.‎ ‎17.（1）由正弦定理可得，‎ ‎∵，∴，‎ 由余弦定理可得，∴，‎ ‎∴的面积为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，当且仅当，即时取等号，‎ 此时，即，‎ 故的最小值为，此时.‎ ‎18.解：(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.‎ ‎(2)第1年前7个月的总利润为(百万元)，‎ 第2年前7个月的总利润为(百万元)，‎ 第3年前7个月的总利润为(百万元)，‎ ‎∴这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.‎ ‎(3)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当时， (百万元)，∴估计8月份的利润为940万元.‎ ‎19.解：(1)当时，.‎ ‎（2）由(1)可得，‎ ‎∴.‎ ‎20.(1)证明：在等腰中，,‎ 则由余弦定理可得,∴.‎ ‎∴,∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解：由已知可得，‎ 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则，‎ 从而.‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，‎ 令，可得平面的一个法向量为.‎ 由（1）知平面的一个法向量为,‎ ‎,‎ 由图可知二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎21.解：(1)过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为，依题意知，‎ ‎，又，‎ 解得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设过椭圆的右焦点的直线的方程为，‎ 将其代入中得，，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∵为线段的中点，‎ ‎∴点的坐标为，‎ 又直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 令得，，由点的坐标为，‎ ‎∴,∴‎ ‎∴，∴.‎ ‎22.解：(1)设，则.‎ 当时，，函数递减；当时，，函数递增.‎ 所以当时，.‎ ‎∵,∴,∴.‎ ‎ (2) 解：由得或（由（1）知不成立舍去），‎ 即，‎ 设，则，‎ 当时，,函数递增；当时，,函数递减，所以当时，‎ ‎,∴.‎ ‎（3）证明：‎ ‎.‎ 当时,,∴.‎ 故，等号若成立，则即，由（1）知不成立，‎ 故等号不成立，‎ 从而.‎