数学卷·2017届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测（一模）（2016

数学卷·2017届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测（一模）（2016

静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测 高三数学试卷 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．‎ 一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1．“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是 ．‎ ‎2．函数的最小正周期为 ．‎ ‎3．若复数为纯虚数， 且满足(为虚数单位)，则实数的值为 ．‎ ‎4．二项式的展开式中，的系数为 ．‎ ‎5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米．‎ ‎6．已知为锐角，且，则________ ．‎ ‎7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）. ‎ 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时)‎ ‎8．已知奇函数是定义在上的增函数，数列是一个公差为的等差数列，满足 ‎，则的值为 ．‎ ‎9．直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．‎ ‎10．已知 且，)，，若对任意实数均有，则的最小值为________． ‎ 二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎11．若空间三条直线a、b、c满足，则直线a与c 【 】‎ A．一定平行； B．一定相交；‎ C．一定是异面直线； D．平行、相交、是异面直线都有可能． ‎ ‎12．在无穷等比数列中，，则的取值范围是【 】‎ ‎ A．； B．； ‎ C．； D．．‎ ‎13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有 【 】‎ A．336种； B．320种； C．192种； D．144种.‎ ‎14．已知椭圆，抛物线焦点均在轴上，的 中心和顶点均为原点，从每条曲线上各取 两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到 的准线之间的距离为 【 】‎ A．； B．； ‎ C．1； D．2．‎ ‎15．已知与都是定义在上的奇函数，且当时，，（），若恰有4个零点，则正实数的取值范围是 【 】‎ A．； B．； ‎ C．； D．．‎ 三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．‎ ‎16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）‎ 已知正四棱柱，,分别是棱的中点．‎ ‎(1) 求异面直线所成角的大小；‎ ‎(2) 求四面体的体积．‎ ‎ ‎ ‎17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）‎ 设双曲线：， 为其左右两个焦点．‎ ‎(1) 设为坐标原点，为双曲线右支上任意一点，求的取值范围；‎ ‎(2) 若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．‎ ‎18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）‎ 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大．‎ ‎(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；‎ ‎(2) 城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？‎ ‎19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）‎ 设集合存在正实数，使得定义域内任意都有．‎ ‎(1) 若，试判断是否为中的元素，并说明理由；‎ ‎(2) 若，且，求的取值范围；‎ ‎(3) 若（），且，求的最小值．‎ ‎20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）‎ 由个不同的数构成的数列中，若时，（即后面的项小于前面项），则称与构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为；同理，等比数列的逆序数为．‎ ‎(1) 计算数列的逆序数；‎ ‎(2) 计算数列（）的逆序数；‎ ‎(3) 已知数列的逆序数为，求的逆序数．‎ 静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测 高三数学试卷答案与评分标准 一、‎ ‎1．; 2．; 3．; 4．10; 5．;‎ ‎6．; 7．8; 8．4019; 9．; 10．4‎ 二、‎ ‎11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C.‎ ‎16．解：（1）连接，……………………………….1分 则为异面直线所成角 …………….1分 在中，可求得，‎ ‎…………………….4分 ‎（2） ……………………………….5分 ‎17．（1）设，，左焦点， ‎ ‎ ……………………………4分 ‎ （）对称轴 ‎ ……………………………3分 ‎（2）由椭圆定义得：点轨迹为椭圆，，‎ ‎ ……………………………4分 由基本不等式得，‎ 当且仅当时等号成立 ‎，‎ 所求动点的轨迹方程为 ……………………………3分 ‎18．解：（1）如图建立直角坐标系， ……………………………1分 则城市，当前台风中心，‎ 设t小时后台风中心P的坐标为，则，此时台风的半径为，‎ ‎10小时后，km，台风的半径为160km,‎ ‎, ……………………………5分 故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A. ………1分 ‎（2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以 为圆心，为半径的圆，‎ 若城市A受到台风侵袭，则 ‎，即，……………………………5分 解得 ……………………………1分 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分 ‎19．解：（1）∵， ∴. ……………………………4分 ‎（2）由 …2分 ‎ ∴， ……………………………3分 故 . ……………………………1分 ‎（3）由, ………………1分 即：‎ ‎ ∴ 对任意都成立 ‎ ∴ ……………………………3分 当时，； ……………………………1分 当时，； ……………………………1分 当时，. ……………………………1分 综上： ……………………………1分 ‎20．（1）因为为单调递减数列，所以逆序数为 ‎； ……………………………4分 ‎（2）当为奇数时，．……………………………1分 当为偶数时，‎ ‎ ‎ 所以． ……………………………2分 当为奇数时，逆序数为 ‎……………2分 当为偶数时，逆序数为 ‎…………………2分 ‎（3）在数列中，若与后面个数构成个逆序对，‎ 则有不构成逆序对，所以在数列中，‎ 逆序数为．…7分