甘肃省武威第六中学2020届高三下学期诊断考试数学（理）试题

甘肃省武威第六中学2020届高三下学期诊断考试数学（理）试题

武威六中2020届高三第二次线上诊断考试 理科数学试题 一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1.集合，，则=( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．‎ ‎【详解】解得集合，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．‎ ‎2.纯虚数满足，则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由复数的模和共轭复数的概念，结合复数相等的条件，解方程可得，进而得到所求的共轭复数．‎ ‎【详解】由题意，设，则 ‎ 则复数相等的条件可得 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的模和共轭复数的概念，以及复数相等的条件，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎3.各项均为正数的等比数列中，，数列的前项和为.则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为利用等比数列通项公式,结合得到关于的方程,解方程求出公比,然后代入等比数列通项公式求出即可.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，由题意知,‎ 则 解得,由等比数列通项公式可得,‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和公式;考查运算求解能力;熟练掌握等比数列通项公式和前n项和公式是求解本题的关键;属于基础题.‎ ‎4.在中，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量基本定理分析求解即可.‎ ‎【详解】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点．‎ 故选 ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.‎ ‎5.把不超过实数的最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在上任取，则的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意分类，求得使[x]＝[]成立的x的范围，再由长度比计算即可得答案．‎ ‎【详解】当2≤x＜3时，[x]＝[]＝2；‎ 当3≤x＜4时，[x]＝3，[]＝2；‎ 当4≤x＜4.5时，[x]＝4，[]＝2；‎ 当4.5≤x＜5时，[x]＝4，[]＝3．‎ 符合条件的x∈[2，3），由长度比可得，[x]＝[]的概率为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率、分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎6.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的对称性及在对称轴右侧的单调性即可判断函数图象的大致形状，利用排除法选出答案.‎ ‎【详解】由题意得，函数的关于对称，排除B、D；‎ ‎ 当时，函数为单调递减函数，排除A，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值的对数型函数的对称性，单调性，图象，属于中档题.‎ ‎7.设向量，若，则实数（ ）‎ A. 3 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求得，再根据，有求解.‎ ‎【详解】因为向量，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎8.已知实数，满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用指数函数的性质得到，的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 由指数函数的单调性, ‎ 可得：‎ 对于A，由，可得，故A错误；‎ 对于B，由，可得，故B正确；‎ 对于C，由，可得，故C错误；‎ 对于D，根据图象可得，由，与的大小无法确定，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角公式求得，再利用诱导公式求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作垂直于轴的弦MN，交双曲线于M、N两点，若=，则双曲线的离心率=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据过右焦点作垂直于轴的弦MN，则 ，再根据=，则有 ，即求解.‎ ‎【详解】因为过右焦点作垂直于轴的弦MN，‎ 所以 ，又因为=，‎ 所以 ，即，‎ 所以，‎ ‎，‎ 解得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查双曲线几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.１７世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”‎ 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在，由正弦定理可知：，即可求得值，根据诱导公式化简，即可求得答案.‎ ‎【详解】，由正弦定理可知：‎ ‎，‎ ‎，‎ 又 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎12.的值域为R，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为 ，所以 ‎ 因此 ，‎ 即的取值范围是，选D.‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.将函数的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图象，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数平移和伸缩变换可得到，进而对应相等可求得 的值，从而求得结果.‎ ‎【详解】向右平移个单位得：，‎ 将横坐标扩大为原来的倍得：‎ ‎，，，又，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数图象的变换求解函数解析式的问题，关键是能够熟练掌握三角函数的平移变换和伸缩变换的基本原则.‎ ‎14.已知数列，若数列的前项和，则的值为________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用前n项和公式可得第五项的值.‎ ‎【详解】∵数列的前项和，‎ ‎∴=‎ ‎∴，‎ 故答案为16‎ ‎【点睛】本题考查由前n项和公式求项值，考查计算能力，解题关键是理解前n项和与项的关系.‎ ‎15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有_______种．‎ ‎【答案】29‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，可以得到第一天售出但第二天未售出的商品种数，同理得到第二天售出但第一天未售出的商品种数，进而得到前两天共售出的商品的种数，根据第三天售出但第二天未售出的商品种数，当这些商品都在第一天售或第二天售出时，三天售出的商品种数最少.‎ ‎【详解】由题意，第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，‎ 所以第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种，第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种，所以前两天共售出的商品有19+10=29种，‎ 如图所示：‎ 第三天售出18种商品，后两天都售出的商品有4种，得第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14种，‎ 当这14种商品都在第一天售出或第二天售出商品中时，三天售出的商品种数最少有29种.‎ 故答案为：29‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎16.在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体体对角线与的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值．‎ ‎【详解】：如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么,,所以 ‎．由题意，体积的最小值即为最小，，所以当时，的最小值为，所以半径为，故体积的最小值为．‎ ‎【点睛】：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在公差不为0的等差数列中，成等比数列，数列的前10项和为45．‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）若，且数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件列关于公差与首项的方程组，再将结果代入通项公式得结果，（2）利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为，‎ 由成等比数列可得，，即，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 由数列的前10项和为45，得，‎ 即，故，.‎ 故数列的通项公式为；‎ ‎（2），‎ ‎【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎18.如图，正三棱柱的所有棱长均，为棱（不包括端点）上一动点，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）若，求的长；‎ ‎（Ⅱ）当在棱（不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）BD=1；（Ⅱ）（，].‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(I)由得到平面,所以,由于,所以平面,所以,由此得到为的中点,所以.(I)以为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量来求得它们夹角的余弦值的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ 证明：（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，‎ 又平面ABC⊥平面ABB‎1A1，所以CE⊥平面ABB‎1A1‎ 而AD⊂平面ABB‎1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A‎1C所以AD⊥平面A1CE，‎ 所以AD⊥A1E．易知此时D为BB1的中点，故BD=1． ‎ ‎（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，‎ 过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，设 BD=t，‎ 则A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，，2），‎ ‎=（2，0，t），=（1，，2），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得，‎ 平面ABC的法向量=（0，0，1），设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ，‎ ‎∴cosθ====‎ 由于t∈（0,2）,故cosθ∈（，]．‎ 即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（，]．‎ ‎19.某学校共有名学生，其中男生人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，月消费金额分布在之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：‎ 将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．‎ ‎（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）若样本中属于“高消费群”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎【答案】（1），平均数：元；（2）分布列见解析，；（3）列联表见解析，有．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率和为，列方程解出的值，再由频率分布直方图求样本平均数，即可得解；‎ ‎（2）由题意可知随机变量服从超几何分布，确定的取值，求出对应概率，可得的分布列，再计算数学期望即可；‎ ‎（3）由题可知，样本中男生人，女生人，属于“高消费群”的人，由此完成列联表，并由公式计算，查表判断即可.‎ ‎【详解】（1）由题意知，，‎ 解得，‎ 样本的平均数为：‎ ‎（元），‎ 所以估计该校学生月消费金额平均数为元．‎ ‎（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人．‎ 随机变量的所有可能取值有，，，，‎ ‎（），‎ 所以，随机变量的分布列为 随机变量的数学期望．‎ ‎（3）由题可知，样本中男生人，女生人，属于“高消费群”的人，其中女生人；‎ 得出以下列联表：‎ ‎，‎ 所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、列联表以及独立检验的应用，考查了计算能力与数据分析能力，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据椭圆的几何意义，得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，向量坐标化得到，进而求得参数值．‎ 解析：‎ ‎（1）由题意得：，解得 ‎∴椭圆的标准方程是 ‎（2）当直线的斜率不存在时，，‎ ‎，不符合题意 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，‎ 由消整理得：‎ ‎，解得或 ‎，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴‎ 解得，满足 所以存在符合题意的直线，其方程为 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，令函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）切线方程为；（2）实数的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）当时，求出切点和斜率，利用直线方程点斜式可求得切线方程.（2）先化简得到.利用导数求得其最小值为，由此得到在区间上有两个零点的条件是，解这个不等式求得的范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）当时， .‎ 当时，，所以点为，‎ 又，因此.‎ 因此所求切线方程为.‎ ‎（2）当时，，‎ 则.‎ 因为，所以当时，，‎ 且当时，；当时，；‎ 故在处取得极大值也即最大值.‎ 又，，‎ ‎ ，‎ 则，所以在区间上的最小值为，‎ 故在区间上有两个零点的条件是 ‎ ，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数导数与切线，考查函数导数与零点问题，考查化归与转化的数学思想方法.‎ 第一问要求函数在某一点的切线方程，只需求出切点和斜率，利用点斜式即可求得对应的切线方程.第二问利用导数研究图像得到其最小值后列不等式组来求的取值范围.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知为锐角，直线与曲线的交点为（异于极点），与曲线的交点为，若，求的直角坐标方程.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先消去参数，得到曲线的普通方程，再化成极坐标方程；‎ ‎(2)由题意知，直线是过原点的，所以求出的斜率或的值即可写出的方程.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知曲线的直角坐标方程为， ‎ 即， ‎ 所以，‎ 即，故曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以，‎ 将代入，得 因为曲线的极坐标方程为，所以 ‎ 所以， ‎ 则，故的直角坐标方程为 ‎【点睛】设为平面上一点，其直角坐标为，极坐标为，则，，，．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），当，，可得，即可求得答案；‎ ‎（2）由，可得，结合已知，即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）‎ 当，‎ 可得 若则，‎ 即，显然成立 若，‎ 可得，故 若，‎ 可得，显然不成立.‎ 综上所述，‎ ‎（2）‎ 要保证不等式恒成立，只需保证，‎ 解得 综上所述，‎ ‎【点睛】本题主要考查了求解带绝对值不等和根据不等式恒成立求参数，解题关键是掌握带绝对值不等式和不等式恒成立求参数范围的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎