【数学】2020届江苏一轮复习通用版4-4两角和与差的三角函数作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版4-4两角和与差的三角函数作业

‎4.4　两角和与差的三角函数 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 两角和与差的三角函数 ‎1.求三角函数值 ‎2.化简三角函数式 ‎3.研究三角函数性质 ‎2015江苏,8‎ 两角和(差)的正切公式 ‎★★★‎ ‎2016江苏,14‎ 两角和的正弦公式 基本不等式 ‎2017江苏,5‎ 两角和的正切公式 ‎2014江苏,15‎ 两角和与差的正弦、余弦公式 二倍角公式、同角三角函数的关系 分析解读　　两角和与差的三角函数是高考的重点,主要考查三角函数求值及公式的变形运用,有时单独考查,有时与三角函数的图象与性质综合在一起考查.试题一般为中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　两角和与差的三角函数 ‎1.函数y=sin‎2x+‎π‎4‎+sin‎2x-‎π‎4‎的最小值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎2‎ ‎2.若cos α=-‎1‎‎2‎,sin β=-‎3‎‎2‎,α∈π‎2‎‎,π,β∈‎3π‎2‎‎,2π,求sin(α+β)的值.‎ 解析　∵α∈π‎2‎‎,π,cos α=-‎1‎‎2‎,∴sin α=‎3‎‎2‎.‎ ‎∵β∈‎3π‎2‎‎,2π,sin β=-‎3‎‎2‎,∴cos β=‎1‎‎2‎.‎ ‎∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ‎=‎3‎‎2‎×‎1‎‎2‎+‎-‎‎1‎‎2‎×‎-‎‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎3.已知α∈‎0,‎π‎2‎,β∈π‎2‎‎,π,cos 2β=-‎7‎‎9‎,sin(α+β)=‎7‎‎9‎.‎ ‎(1)求cos β的值;‎ ‎(2)求sin α的值.‎ 解析　(1)因为β∈π‎2‎‎,π,所以cos β<0.‎ 又cos 2β=2cos2β-1=-‎7‎‎9‎,‎ 所以cos β=-‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)根据(1)及β∈π‎2‎‎,π,得sin β=‎1-cos‎2‎β=‎2‎‎2‎‎3‎.‎ 又α∈‎0,‎π‎2‎,所以α+β∈π‎2‎‎,‎‎3π‎2‎,‎ 又sin(α+β)=‎7‎‎9‎,‎ 所以cos(α+β)=-‎1-sin‎2‎(α+β)‎=-‎4‎‎2‎‎9‎.‎ 故sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β ‎=‎7‎‎9‎×‎-‎‎1‎‎3‎-‎-‎‎4‎‎2‎‎9‎×‎2‎‎2‎‎3‎=‎1‎‎3‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　逆用公式 ‎1.(2014课标Ⅰ改编,8,5分)设α∈‎0,‎π‎2‎,β∈‎0,‎π‎2‎,且tan α=‎1+sinβcosβ,则2α-β=　　　　. ‎ 答案　‎π‎2‎ ‎2.求[2sin 50°+sin 10°(1+‎3‎tan 10°)]·‎2sin‎2‎80°‎的值.‎ 解析　原式 ‎=‎2sin50°+sin10°‎‎1+‎‎3‎sin10°‎cos10°‎·‎2‎sin 80°‎ ‎=‎2sin50°+sin10°·‎cos10°+‎3‎sin10°‎cos10°‎·‎2‎cos 10°‎ ‎=‎‎2‎‎2sin50°cos10°+2sin10°‎‎1‎‎2‎cos10°+‎3‎‎2‎sin10°‎ ‎=2‎2‎[sin 50°cos 10°+sin 10°cos(60°-10°)]‎ ‎=2‎2‎(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)‎ ‎=2‎2‎sin(50°+10°)=2‎2‎sin 60°=2‎2‎×‎3‎‎2‎=‎6‎.‎ 方法二　角的变换 ‎1.若α,β∈‎3π‎4‎‎,π,sin(α+β)=-‎3‎‎5‎,sinβ-‎π‎4‎=‎12‎‎13‎,则cosα+‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　-‎‎56‎‎65‎ ‎ 解析　因为α,β∈‎3π‎4‎‎,π,‎ 所以α+β∈‎3π‎2‎‎,2π,β-π‎4‎∈π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎.‎ 由sin(α+β)=-‎3‎‎5‎,得cos(α+β)=‎1-sin‎2‎(α+β)‎=‎1-‎‎-‎‎3‎‎5‎‎2‎=‎4‎‎5‎,‎ 由sinβ-‎π‎4‎=‎12‎‎13‎,‎ 得cosβ-‎π‎4‎=-‎‎1-sin‎2‎β-‎π‎4‎ ‎=-‎1-‎‎12‎‎13‎‎2‎=-‎5‎‎13‎,‎ 所以cosα+‎π‎4‎=cos‎(α+β)-‎β-‎π‎4‎ ‎=cos(α+β)cosβ-‎π‎4‎+sin(α+β)sinβ-‎π‎4‎ ‎=‎4‎‎5‎×‎-‎‎5‎‎13‎+‎-‎‎3‎‎5‎×‎12‎‎13‎=-‎56‎‎65‎.‎ ‎2.(2017江苏南京高淳质检,11)设α为锐角,若cosα+‎π‎6‎=‎3‎‎5‎,求sinα-‎π‎12‎的值.‎ 解析　因为α为锐角,所以α+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎,‎ 所以sinα+‎π‎6‎=‎1-‎‎3‎‎5‎‎2‎=‎4‎‎5‎.‎ 所以sinα-‎π‎12‎=sinα+‎π‎6‎‎-‎π‎4‎ ‎=sinα+‎π‎6‎cos π‎4‎-cosα+‎π‎6‎sin ‎π‎4‎ ‎=‎4‎‎5‎×‎2‎‎2‎-‎3‎‎5‎×‎2‎‎2‎=‎2‎‎10‎.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎1.(2017江苏,5,5分)若tanα-‎π‎4‎=‎1‎‎6‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎5‎ ‎2.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎3.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=‎1‎‎7‎,则tan β的值为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎4.(2014江苏,15,14分)已知α∈π‎2‎‎,π,sin α=‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求sinπ‎4‎‎+α的值;‎ ‎(2)求cos‎5π‎6‎‎-2α的值.‎ 解析　(1)因为α∈π‎2‎‎,π,sin α=‎5‎‎5‎,‎ 所以cos α=-‎1-sin‎2‎α=-‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 故sinπ‎4‎‎+α=sinπ‎4‎cos α+cosπ‎4‎sin α ‎=‎2‎‎2‎×‎-‎‎2‎‎5‎‎5‎+‎2‎‎2‎×‎5‎‎5‎=-‎10‎‎10‎.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×‎5‎‎5‎×‎-‎‎2‎‎5‎‎5‎=-‎4‎‎5‎,‎ cos 2α=1-2sin2α=1-2×‎5‎‎5‎‎2‎=‎3‎‎5‎,‎ 所以cos‎5π‎6‎‎-2α=cos‎5π‎6‎cos 2α+sin‎5π‎6‎sin 2α ‎=‎-‎‎3‎‎2‎×‎3‎‎5‎+‎1‎‎2‎×‎-‎‎4‎‎5‎=-‎4+3‎‎3‎‎10‎.‎ 思路分析　(1)先根据α的范围及sin α的值求出cos α,然后用两角和的正弦公式求解即可.(2)出现二倍角,联想到利用二倍角公式求解.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点　两角和与差的三角函数 ‎1.(2018课标全国Ⅱ文,15,5分)已知tanα-‎‎5π‎4‎=‎1‎‎5‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎2.(2017课标全国Ⅰ文,15,5分)已知α∈‎0,‎π‎2‎,tan α=2,则cosα-‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎10‎‎10‎ ‎3.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎4.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎2‎ ‎5.(2016课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若cosπ‎4‎‎-α=‎3‎‎5‎,则sin 2α=　　　　. ‎ 答案　-‎‎7‎‎25‎ ‎6.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sinx+‎π‎3‎-‎3‎cos2x+‎3‎‎4‎,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在闭区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)由已知,有 f(x)=cos x·‎1‎‎2‎sinx+‎3‎‎2‎cosx-‎3‎cos2x+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎2‎sin x·cos x-‎3‎‎2‎cos2x+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎4‎sin 2x-‎3‎‎4‎(1+cos 2x)+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎4‎sin 2x-‎3‎‎4‎cos 2x ‎=‎1‎‎2‎sin‎2x-‎π‎3‎.‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间‎-π‎4‎,-‎π‎12‎上是减函数,在区间‎-π‎12‎,‎π‎4‎上是增函数,‎ f‎-‎π‎4‎=-‎1‎‎4‎, f‎-‎π‎12‎=-‎1‎‎2‎, fπ‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ 所以函数f(x)在闭区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的最大值为‎1‎‎4‎,最小值为-‎1‎‎2‎.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2013课标全国Ⅰ理,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=　　　　. ‎ 答案　-‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎2.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin‎3x+‎π‎4‎.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角, fα‎3‎=‎4‎‎5‎cosα+‎π‎4‎cos 2α,求cos α-sin α的值.‎ 解析　(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为‎-π‎2‎+2kπ,π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 所以由-π‎2‎+2kπ≤3x+π‎4‎≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,得 ‎-π‎4‎+‎2kπ‎3‎≤x≤π‎12‎+‎2kπ‎3‎,k∈Z.‎ 所以,函数f(x)的单调递增区间为‎-π‎4‎+‎2kπ‎3‎,π‎12‎+‎‎2kπ‎3‎,k∈Z.‎ ‎(2)由已知,有sinα+‎π‎4‎=‎4‎‎5‎cosα+‎π‎4‎(cos2α-sin2α),‎ 所以sin αcosπ‎4‎+cos αsinπ‎4‎ ‎=‎4‎‎5‎cosαcosπ‎4‎-sinαsinπ‎4‎(cos2α-sin2α).‎ 即sin α+cos α=‎4‎‎5‎(cos α-sin α)2(sin α+cos α).‎ 当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=‎3π‎4‎+2kπ,k∈Z.‎ 此时,cos α-sin α=-‎2‎.‎ 当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=‎5‎‎4‎.‎ 由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,‎ 此时cos α-sin α=-‎5‎‎2‎.‎ 综上所述,cos α-sin α=-‎2‎或-‎5‎‎2‎.‎ 评析　本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.‎ ‎3.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=‎3‎sin(ωx+φ)ω>0,-π‎2‎≤φ<‎π‎2‎的图象关于直线x=π‎3‎对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)若fα‎2‎=‎3‎‎4‎π‎6‎‎<α<‎‎2π‎3‎,求cosα+‎‎3π‎2‎的值.‎ 解析　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=‎2πT=2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x=π‎3‎对称,‎ 所以2·π‎3‎+φ=kπ+π‎2‎,k∈Z.‎ 由-π‎2‎≤φ<π‎2‎得k=0,‎ 所以φ=π‎2‎-‎2π‎3‎=-π‎6‎.‎ ‎(2)由(1)得fα‎2‎=‎3‎sin‎2·α‎2‎-‎π‎6‎=‎3‎‎4‎,‎ 所以sinα-‎π‎6‎=‎1‎‎4‎.‎ 由π‎6‎<α<‎2π‎3‎得0<α-π‎6‎<π‎2‎,‎ 所以cosα-‎π‎6‎=‎1-sin‎2‎α-‎π‎6‎=‎1-‎‎1‎‎4‎‎2‎=‎15‎‎4‎.‎ 因此cosα+‎‎3π‎2‎=sin α=sinα-‎π‎6‎‎+‎π‎6‎ ‎=sinα-‎π‎6‎cosπ‎6‎+cosα-‎π‎6‎sinπ‎6‎ ‎=‎1‎‎4‎×‎3‎‎2‎+‎15‎‎4‎×‎1‎‎2‎=‎3‎‎+‎‎15‎‎8‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2019届江苏启东检测)已知cos α=‎5‎‎5‎,α∈(-π,0),tan(α+β)=1,则tan β的值为　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎2.(2018江苏南通高三调研,8)在平面直角坐标系xOy中,已知角α,β的始边均为x轴的非负半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎9‎‎7‎ ‎3.(2019届江苏南通如皋期中)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎2‎ ‎4.(2018江苏南京、盐城高三一模,8)已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为　　　　. ‎ 答案　‎3‎‎4‎π ‎5.(2019届江苏启东中学期初)已知α∈‎0,‎π‎2‎,β∈π‎2‎‎,π,cos α=‎1‎‎3‎,sin(α+β)=-‎3‎‎5‎,则cos β=　　　　. ‎ 答案　-‎‎4+6‎‎2‎‎15‎ ‎6.(2018江苏南通中学期中,6)已知α∈π,‎3‎‎2‎π,cos α=-‎4‎‎5‎,则tanπ‎4‎‎-α=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎7‎ ‎7.(2018江苏盐城中学高三期末,11)已知sin β=‎3‎‎5‎,β∈π‎2‎‎,π,且sin(α+β)=cos α,则tan(α+β)=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎8.(2017江苏仪征中学高三期初,11)已知3tanα‎2‎+tan2α‎2‎=1,sin β=3sin(2α+β),则tan(α+β)=　　　　. ‎ 答案　-‎‎4‎‎3‎ 二、解答题(共30分)‎ ‎9.(2019届江苏如东高级中学期中)已知α,β都是锐角,且sin α=‎3‎‎5‎,tan(α-β)=-‎1‎‎3‎.‎ ‎(1)求sin(α-β)的值;‎ ‎(2)求cos β的值.‎ 解析　(1)因为α,β∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以-π‎2‎<α-β<π‎2‎,‎ 又因为tan(α-β)=-‎1‎‎3‎<0,‎ 所以-π‎2‎<α-β<0.‎ 因为sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,‎ 且sin(α-β)‎cos(α-β)‎=-‎1‎‎3‎,‎ 所以sin(α-β)=-‎10‎‎10‎.‎ ‎(2)由(1)可得,cos(α-β)=‎1-sin‎2‎(α-β)‎=‎1-‎‎1‎‎10‎=‎3‎‎10‎‎10‎.‎ 因为α为锐角,sin α=‎3‎‎5‎,‎ 所以cos α=‎1-sin‎2‎α=‎1-‎‎9‎‎25‎=‎4‎‎5‎.‎ 所以cos β=cos[α-(α-β)]‎ ‎=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)‎ ‎=‎4‎‎5‎×‎3‎‎10‎‎10‎+‎3‎‎5‎×‎-‎‎10‎‎10‎=‎9‎‎10‎‎50‎.‎ ‎10.(2017江苏南通高三第一次调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B,AB=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求cos β的值;‎ ‎(2)若点A的横坐标为‎5‎‎13‎,求点B的坐标.‎ 解析　(1)在△AOB中,由余弦定理得,‎ cos∠AOB=OA‎2‎+OB‎2‎-AB‎2‎‎2OA·OB=‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎-‎‎2‎‎5‎‎5‎‎2‎‎2×1×1‎=‎3‎‎5‎,‎ 所以cos β=‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)因为cos β=‎3‎‎5‎,β∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以sin β=‎1-cos‎2‎β=‎1-‎‎3‎‎5‎‎2‎=‎4‎‎5‎.‎ 因为点A的横坐标为‎5‎‎13‎,‎ 由三角函数定义可得cos α=‎5‎‎13‎,‎ 因为α为锐角,所以sin α=‎1-cos‎2‎α=‎1-‎‎5‎‎13‎‎2‎=‎12‎‎13‎.‎ 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=‎5‎‎13‎×‎3‎‎5‎-‎12‎‎13‎×‎4‎‎5‎=-‎33‎‎65‎,‎ sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=‎12‎‎13‎×‎3‎‎5‎+‎5‎‎13‎×‎4‎‎5‎=‎56‎‎65‎.‎ 所以点B的坐标为‎-‎33‎‎65‎,‎‎56‎‎65‎.‎