【数学】2019届一轮复习人教A版 二次函数与幂函数 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 二次函数与幂函数 学案

第7讲　二次函数与幂函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．‎ ‎2．了解幂函数的概念．‎ ‎3．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，11‎ ‎2017·山东卷，10‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，6‎ ‎2015·浙江卷，18‎ ‎1．二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查．‎ ‎2．幂函数的图象和性质，很少单独出题．‎ ‎3．二次函数的综合应用，经常与导数、不等式综合考查．‎ 分值：5～8分 ‎1．幂函数的概念 一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎2．几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R)‎ 图象 α>0‎ α<0‎ 性质 图象过点__(0,0)__和__(1,1)__‎ 图象过点__(1,1)__‎ 在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是__增函数__‎ 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是__减函数__‎ 在第一象限内，当α>1时，图象下凹；当0<α<1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凹 形如y＝x或y＝x－ (m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n 为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数 ‎3．二次函数解析式的三种形式 ‎(1)一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c__(a≠0)；‎ ‎(2)顶点式：f(x)＝__a(x－h)2＋k__(a≠0)；‎ ‎(3)零点式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)__(a≠0)．‎ ‎4．二次函数的图象与性质 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：‎ ‎(1)对称轴：x＝！！！　－　###；‎ ‎(2)顶点坐标：！！！　　###；‎ ‎(3)开口方向：a>0时，开口__向上__，a<0时，开口__向下__；‎ ‎(4)值域：a>0时，y∈！！！　　###，a<0时，y∈____；‎ ‎(5)单调性：a>0时，f(x)在！！！　　###上是减函数，在____上是增函数；a<0时，f(x)在上是__增函数__，在上是__减函数__.‎ ‎5．二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__根__，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的__端点值__．‎ ‎6．二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的__端点__或二次函数的__顶点__处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数y＝2x是幂函数．(　×　)‎ ‎(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)‎ ‎(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)‎ ‎(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.(　×　)‎ 解析　(1)错误．不符合幂函数的定义．‎ ‎(2)正确．因为图象与坐标轴相交，则由x＝0得y＝0，若y＝0，则得x＝0.‎ ‎(3)错误．幂函数y＝x－1在定义域上不单调．‎ ‎(4)错误．当－∉[m，n]时，二次函数的最值，在区间端点取得，而非.‎ ‎2．函数y＝x的图象(图中虚线为直线y＝x)是(　B　)‎ 解析　因为函数y＝x是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A项，D项；当x>1,00时图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”；‎ ‎(2)曲线在第一象限的“凹凸性”：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；‎ ‎(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数的定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．‎ ‎【例1】 (1)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为(　B　)‎ A．－1　　　 B．2‎ C．－1或2　　　 D．3‎ ‎(2)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　C　)‎ ‎(3)已知f(x)＝x，若00，∴m＝2.‎ ‎(2)∵幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，∴f(x)＝x.‎ ‎(3)∵0－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋‎6a＝0有两个相等的根，则f(x)的单调递增区间为__(－∞，－3]__.‎ 解析　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ 由题意得解得 所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ ‎(2)因为f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，‎ 设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，‎ 所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋‎4a)x＋‎3a.①‎ 由方程f(x)＋‎6a＝0，得ax2－(2＋‎4a)x＋‎9a＝0.②‎ 因为方程②有两个相等的根，‎ 所以Δ＝[－(2＋‎4a)]2－‎4a·‎9a＝0，解得a＝1或a＝－.‎ 由于a<0，舍去a＝1．将a＝－代入①式得 f(x)＝－x2－x－＝－(x＋3)2＋，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－3]．‎ 三　二次函数的图象和性质 二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．‎ ‎【例3】 (1)已知二次函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．‎ ‎(2)已知a是实数，记函数f(x)＝x2－2x＋2在[a，a＋1]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．‎ 解析　(1)①当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.‎ 当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，‎ ‎∴f(x)在上递减，在上递增．‎ ‎∴f(x)min＝f＝－＝－.‎ 当>1，即01时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为f(a)＝a2－‎2a＋2.‎ 综上可知，g(a)＝ ‎【例4】 (1)若函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为__(－∞，－6]∪[4，＋∞)__.‎ ‎(2)若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是！！！　　###.‎ 解析　(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.‎ ‎(2)函数f(x)图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由二次函数的图象知m的取值范围为.‎ ‎1．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(　C　)‎ A．2x－y＝0　　　 B．2x＋y＝0‎ C．4x－4y＋1＝0　　　 D．4x＋4y＋1＝0‎ 解析　根据函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1，根据图象经过点A，则有α＝‎ eq f(1,2)，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，故所求切线方程是4x－4y＋1＝0.‎ ‎2．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　B　)‎ A．[2－，2＋]　　　 B．(2－，2＋)‎ C．[1,3]　　　 D．(1,3)‎ 解析　由题意可知，f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1．若有f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]，‎ 即－b2＋4b－3>－1，解得2－2x＋m在[－1,1]上恒成立．‎ 即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．‎ 设g(x)＝x2－3x＋1－m，因为g(x)的图象开口向上，对称轴为x＝，所以g(x)在[－1,1]上是减函数，‎ 故g(x)min＝g(1)＝12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．‎ 故实数m的取值范围为(－∞，－1)．‎ 易错点　忽视一元二次方程中对Δ的讨论 错因分析：忽略已知一元二次方程有根时，便隐含了Δ≥0以及韦达定理的内容．‎ ‎【例1】 已知关于x的方程x2－2mx＋‎4m2‎－6＝0的两根为α，β，试求(α－1)2＋(β－1)2的最小值．‎ 解析　由题意得 ‎∴(α－1)2＋(β－1)2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(‎2m)2－2(‎4m2‎－6)－‎4m＋2＝－‎4m2‎－‎4m＋14＝－42＋15，‎ 又∵Δ≥0，即(－‎2m)2－4(‎4m2‎－6)≥0，∴－≤m≤，‎ ‎∴当m＝时，(α－1)2＋(β－1)2的最小值为6－4.‎ ‎【跟踪训练1】 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋‎2m＋3(m∈R)，若关于x的方程f(x)＝0有实数根，且两根分别为x1，x2，则(x1＋x2)·x1x2的最大值为(　B　)‎ A．1　　　 B．2　　　　‎ C．3　　　 D．4‎ 解析　∵x1＋x2＝－‎2m，x1x2＝‎2m＋3，‎ ‎∴(x1＋x2)·x1x2＝－‎2m(‎2m＋3)＝－42＋.‎ 又Δ＝‎4m2‎－4(‎2m＋3)≥0，∴m≤－1或m≥3.‎ ‎∵t＝－42＋在m∈(－∞，－1)上单调递增，在m∈[3，＋∞)上单调递减，m＝－1时最大值为2.‎ ‎∴(x1＋x2)·x1x2的最大值为2，故选B．‎ 课时达标　第7讲 ‎[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．‎ 一、选择题 ‎1．(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f(x)＝k·xa的图象过点，则k＋a＝(　C　)‎ A．　　　 B．‎1　‎　　‎ C．　　　 D．2‎ 解析　因为f(x)＝k·xa是幂函数，所以k＝1．又f(x)的图象过点，所以a＝，所以a＝，所以k＋a＝1＋＝.‎ ‎2．(2018·天津模拟)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的符号为(　B　)‎ A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0‎ C．a＜0，b＜0，c＞0 D．a＜0，b＞0，c＜0‎ 解析　由题意知，抛物线开口向下，故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac<0，所以c>0.再由顶点在第一象限得－>0，所以b>0.‎ ‎3．对任意的x∈[－2,1]，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．(－∞，0]　　　 B．(－∞，3]‎ C．[0，＋∞)　　　 D．[3，＋∞)‎ 解析　设f(x)＝x2＋2x－a(x∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x＝1时，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3，故选D．‎ ‎4．对于幂函数f(x)＝x，若0 C．f＝ D．无法确定 解析　根据幂函数的性质：当00)，已知f(m)<0，则(　C　)‎ A．f(m＋1)≥0　　　 B．f(m＋1)≤0‎ C．f(m＋1)>0　　　 D．f(m＋1)<0‎ 解析　因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．‎ 由f(m)<0，得－10，所以f(m＋1)>f(0)>0，故选C．‎ ‎6．(2017·山东卷)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　B　)‎ A．(0,1]∪[2，＋∞)　　　 B．(0,1]∪[3，＋∞)‎ C．(0，]∪[2，＋∞)　　　 D．(0，]∪[3，＋∞)‎ 解析　在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝‎ m22与g(x)＝＋m的大致图象．‎ 分两种情形：‎ ‎(1)当01时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．‎ 综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．‎ 故选B．‎ 二、填空题 ‎7．已知函数f(x)＝x，且f(2x－1)0时，f(x)在[2,3]上为增函数，‎ 故⇒⇒ 当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，‎ 故⇒⇒ ‎∴或 ‎(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.‎ g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，‎ ‎∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.‎ ‎∴m≤2或m≥6.故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．‎ ‎12．(2018·河北唐山调研)设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.求f(x)的最小值．‎ 解析　(1)①当x≤a时，函数f(x)＝x2－x＋a＋1＝2＋a＋.‎ 若a≤，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1；‎ 若a>，则函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f＝＋a，且f≤f(a)．‎ ‎②当x≥a时，函数f(x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋.‎ 若a≤－，则函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f＝－a，且f≤f(a)；　‎ 若a>－，则函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1．‎ 综上，f(x)min＝