【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第6讲双曲线学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第6讲双曲线学案

第 6 讲 双曲线 [考纲解读] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点) 2.掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解 数形结合思想在解决问题中的应用．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测 2020 年高考会 考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试 题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主. 对应学生用书 P149 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于 |F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0： (1)当 □04ac 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 3．必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写 作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (3)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相互垂直． 1．概念辨析 (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲 线．( ) (2)双曲线方程x2 m2 －y2 n2 ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2 m2 －y2 n2 ＝0，即x m±y n ＝0.( ) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (4)若双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)与y2 b2 －x2 a2 ＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1， e2，则1 e21 ＋1 e22 ＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．小题热身 (1)已知双曲线x2 a2 －y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为 4，则双曲线的渐近线方 程是( ) A．y＝± 3 3 x B．y＝± 3x C．y＝±2 3 3 x D．y＝± 3 2 x 答案 A 解析 双曲线x2 a2 －y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为 4， ∴2c＝4，解得 c＝2；∴c2＝a2＋1＝4，∴a＝ 3； ∴双曲线的渐近线方程是 y＝± 1 3x， 即 y＝± 3 3 x.故选 A. (2)设 P 是双曲线x2 16 －y2 20 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点， 若|PF1|＝9，则|PF2|＝________. 答案 17 解析 由题意知|PF1|＝90)的离心率为 5 2 ，则 a＝________. 答案 4 解析 由已知，b2＝4，e＝c a ＝ 5 2 ，即c2 a2 ＝ 5 2 2＝5 4 ，又因为 a2＋b2＝c2，所 以a2＋4 a2 ＝5 4 ，a2＝16，a＝4. 题型 一 双曲线的定义及应用 1．若双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点，A(1,4)， 则|PF|＋|PA|的最小值是( ) A．8 B．9 C．10 D．12 答案 B 解析 由题意知，双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的左焦点 F 的坐标为(－4,0)，设双曲线 的右焦点为 B，则 B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB| ＝4＋ 4－12＋0－42＝4＋5＝9，当且仅当 A，P，B 三点共线且 P 在 A，B 之 间时取等号． ∴|PF|＋|PA|的最小值为 9.故选 B. 2．已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1| ＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝________. 答案 3 4 解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2， 则 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ＝4 22＋2 22－42 2×4 2×2 2 ＝3 4. 条件探究 举例说明 2 中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝ 60°”，求△F1PF2 的面积． 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ＝1 2 ， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|·sin60°＝2 3. (1)应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两 定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距 离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义 的转化应用． (2)在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a 平 方，建立与|PF1|·|PF2|间的联系． 1．F1，F2 分别是双曲线 C：x2 9 －y2 7 ＝1 的左、右焦点，P 为双曲线 C 右支上 一点，且|PF1|＝8，则△PF1F2 的周长为( ) A．15 B．16 C．17 D．18 答案 D 解析 由已知得 a＝3，b＝ 7，c＝ a2＋b2＝4，所以|F1F2|＝2c＝8.由双曲 线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，又|PF1|＝8，所以|PF2|＝2.所以△PF1F2 的 周长是|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝18. 2．方程 x＋102＋y2－ x－102＋y2＝12 的化简结果为( ) A.x2 36 －y2 64 ＝1 B.x2 64 －y2 36 ＝1 C.x2 36 －y2 64 ＝1(x>0) D.x2 64 －y2 36 ＝1(x>0) 答案 C 解析 由已知得点 P(x，y)到点 F1(－10,0)和点 F2(10，0)的距离之差为 12， 显然 12<|F1F2|，所以点 P 的轨迹是以 F1(－10,0)，F2(10,0)为焦点，实轴长为 12 的双曲线的右支，已知方程是点 P 的轨迹方程，由 a＝6，c＝10 得 b＝ c2－a2＝ 8，所以点 P 的轨迹方程可化为x2 36 －y2 64 ＝1(x>0)． 题型 二 双曲线的标准方程及应用 1．已知动圆 M 与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 C2：(x－4)2＋y2＝2 内 切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x2 2 －y2 14 ＝1(x≥ 2) B.x2 2 －y2 14 ＝1(x≤－ 2) C.x2 2 ＋y2 14 ＝1(x≥ 2) D.x2 2 ＋y2 14 ＝1(x≤－ 2) 答案 A 解析 设动圆的半径为 r，由题意可得 MC1＝r＋ 2，MC2＝r－ 2，所以 MC1－MC2＝2 2＝2a，故由双曲线的定义可知动点 M 在以 C1(－4,0)，C2(4,0)为 焦点，实轴长为 2a＝2 2的双曲线的右支上，即 a＝ 2，c＝4⇒b2＝16－2＝14， 故其标准方程为x2 2 －y2 14 ＝1(x≥ 2)． 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为5 4 ； (2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)； (3)经过两点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1 或y2 a2 －x2 b2 ＝1(a>0，b>0)． 由题意知，2b＝12，e＝c a ＝5 4 ， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为x2 64 －y2 36 ＝1 或y2 64 －x2 36 ＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴 上，且 a＝12. 又 2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为 y2 144 －x2 25 ＝1. (3)设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)． ∴ 9m－28n＝1， 72m－49n＝1， 解得 m＝－ 1 75 ， n＝－ 1 25. ∴双曲线的标准方程为y2 25 －x2 75 ＝1. 求双曲线标准方程的两种方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a， b，c 的方程并求出 a，b，c 的值．与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 有相同渐近线时，可设所 求双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置 确定 c 的值． 注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可 以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)求解． 1．设 F1 和 F2 分别为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若 F1，F2， P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过 Q( 5， 3)点，则该双曲线的方 程为( ) A．x2－y2 3 ＝1 B.x2 2 －y2 2 ＝1 C.x2 3 －y2 9 ＝1 D.x2 4 －y2 12 ＝1 答案 D 解析 F1 和 F2 分别为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，F1，F2， P(0,2b)构成正三角形， ∴2b＝ 3c，即有 3c2＝4b2＝3(a2＋b2)，∴b2＝3a2；双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 过点 Q( 5， 3)， ∴ 5 a2 － 3 3a2 ＝1，解得 a2＝4，∴b2＝12， ∴双曲线方程为x2 4 －y2 12 ＝1.故选 D. 2．已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝±1 2x，则该双曲线的标准方 程为________． 答案 x2 4 －y2＝1 解析 因为此双曲线的渐近线方程为 y＝±1 2x，即x 2±y＝0，所以可设此双曲 线方程为x2 4 －y2＝λ(λ≠0)． 又因为此双曲线过点(4， 3)，所以42 4 －( 3)2＝λ，λ＝1，所以此双曲线的标 准方程为x2 4 －y2＝1. 题型 三 双曲线的几何性质 角度 1 与双曲线有关的范围问题 1．(2015·全国卷Ⅰ)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x2 2 －y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点．若MF1 → ·MF2 → <0，则 y0 的取值范围是( ) A. － 3 3 ， 3 3 B. － 3 6 ， 3 6 C. －2 2 3 ，2 2 3 D. －2 3 3 ，2 3 3 答案 A 解析 不妨令 F1 为双曲线的左焦点，则 F2 为右焦点，由题意可知 a2＝2， b2＝1，∴c2＝3，∴F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，则MF1 → ·MF2 → ＝(－ 3－x0)·( 3－x0) ＋(－y0)·(－y0)＝x20＋y20－3. 又知x20 2 －y20＝1，∴x20＝2＋2y20，∴MF1 → ·MF2 → ＝3y20－1<0. ∴－ 3 3 0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、 右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值 范围是( ) A. 1， 5 2 B. 5 2 ，＋∞ C. 1，5 4 D. 5 4 ，＋∞ 答案 B 解析 依题意，注意到题中的双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 的渐近线方程为 y＝±b ax，且 “右”区域是由不等式组 y－b ax 所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是 有 1<2b a ，即b a>1 2 ，因此题中的双曲线的离心率 e＝ 1＋ b a 2∈ 5 2 ，＋∞ ，选 B. 1．与双曲线有关的范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解． (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上 点的坐标范围，方程中Δ≥0 等来解决． 2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略 (1)双曲线的离心率 e＝c a 是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c 的 一个关系式，利用 b2＝c2－a2 消去 b，然后变形成关于 e 的关系式，并且需注意 e>1. (2)双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线是令x2 a2 －y2 b2 ＝0，即得两渐近线方程 x a±y b ＝0. (3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答． 1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程 x2 m2＋n － y2 3m2－n ＝1 表示双曲线，且该双曲线两 焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( ) A．(－1,3) B．(－1， 3) C．(0,3) D．(0， 3) 答案 A 解析 由题意可知，c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中 c 为半焦距， ∴2c＝2×2|m|＝4，∴|m|＝1， ∵方程 x2 m2＋n － y2 3m2－n ＝1 表示双曲线， ∴(m2＋n)·(3m2－n)>0， ∴－m20，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条 渐近线的距离为 1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A．2 B. 2 C．2 2 D．4 答案 B 解析 因为双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程 为 y＝±x，所以 a＝b.因为顶点到一条渐近线的距离为 1，所以 2 2 a＝1，所以 a ＝b＝ 2，双曲线 C 的方程为x2 2 －y2 2 ＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的 距离为 b＝ 2. 3．(2018·全国卷Ⅲ)设 F1，F2 是双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦 点，O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|＝ 6|OP|， 则 C 的离心率为( ) A. 5 B．2 C. 3 D. 2 答案 C 解析 由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a. 在 Rt△POF2 中，cos∠PF2O＝|PF2| |OF2| ＝b c ， ∵在△PF1F2 中， cos∠PF2O＝|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2 2|PF2||F1F2| ＝b c ， ∴b2＋4c2－ 6a2 2b·2c ＝b c ⇒c2＝3a2， ∴e＝ 3.故选 C. 题型 四 直线与双曲线的综合问题 已知双曲线 C：x2－y2＝1 及直线 l：y＝kx－1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为 2，求实 数 k 的值． 解 (1)若双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点， 则方程组 x2－y2＝1， y＝kx－1 有两个不同的实数根， 整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 所以 1－k2≠0， Δ＝4k2＋81－k2>0， 解得－ 2|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝1 2(|x1|－|x2|) ＝1 2|x1－x2|；当 A，B 在双曲线的两支上且 x1>x2 时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝1 2(|x1| ＋|x2|)＝1 2|x1－x2|. 所以 S△OAB＝1 2|x1－x2|＝ 2， 所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2 2)2， 即 －2k 1－k2 2＋ 8 1－k2 ＝8，解得 k＝0 或 k＝± 6 2 . 又因为－ 20，b>0)，四点 P1(4,2)，P2(2,0)，P3(－4,3)，P4(4，3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离 心率为( ) A. 5 2 B.5 2 C. 7 2 D.7 2 答案 C 解析 由双曲线的对称性可知 P3(－4,3)，P4(4,3)在双曲线上，且 P1(4,2)一定 不在双曲线上，∴P2(2,0)也在双曲线上，∴a＝2，b＝ 3，c＝ 7，∴e＝ 7 2 . [典例 2] 如果双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)两渐近线的夹角是 60°，则该双曲 线的离心率是________． 答案 2 3 3 或 2 解析 易知双曲线的渐近线的斜率是±b a.又两渐近线的夹角为 60°，则b a ＝ tan30°或b a ＝tan60°，即 e2－1＝1 3 或 e2－1＝3，又 e>1，所以 e＝2 3 3 或 e＝2，故该 双曲线的离心率为2 3 3 或 2. [典例 3] (2018·华南师大附中二模)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的 左、右焦点分别为 F1，F2，点 F2 关于直线 y＝b ax 的对称点为 M，若点 M 在双曲 线 C 上，则双曲线 C 的渐近线方程为________． 答案 y＝±2x 解析 设点 F2 关于直线 y＝b ax 的对称点是 M 在双曲线的左支上，MF2 交渐 近线于点 N，则|MN|＝|NF2|＝ |bc| b2＋a2 ＝b，|ON|＝ |OF2|2－|NF2|2＝ c2－b2＝a， 又因为 O 是 F1F2 的中点，N 是 MF2 的中点，所以|MF1|＝2a，又由双曲线的定义 知|MF2|－|MF1|＝2a，所以 2b－2a＝2a⇒b a ＝2，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝±2x.