四川省资阳市2021届高三上学期第一次诊断性考试（12月）理科数学试题 Word版含答案

四川省资阳市2021届高三上学期第一次诊断性考试（12月）理科数学试题 Word版含答案

资阳市高中 2018 级第一次诊断性考试 理科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合    1 3 0M x x x    ，  0,1,2,3,4N  ，则 M N  （ ）． A． 1,2,3 B． 0,1,2 C． 0,1,2,3 D． 0,1,2,3,4 2．已知复数 1 iz   ，则 2 1z   （ ）． A．2 B． 5 C．4 D．5 3．sin160 cos10 cos20 sin10      （ ）． A． 3 2  B． 1 2  C． 1 2 D． 3 2 4．等差数列 na 中，若 2 6a  ， 4 3a  ，则 5a  （ ）． A． 3 2 B．3 C． 9 2 D．9 5．已知  1,2A ，  3,4B ，  2,2C  ，  3,5D  ，则向量CD  在 AB  上的投影为（ ）． A． 2 2 5 B． 2 10 5 C． 2 D． 10 6．执行如图所示的程序框图，若输入 6N  ，则输出的 S  （ ）． A． 5 6 B． 6 7 C． 7 8 D． 8 9 7．“   3 31 1a b   ”是“ lg lga b ”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知 2log 5a  ， 3log 7b  ， 0.30.5c  ，则 a ，b ， c 的大小关系为（ ）． A． c b a  B． a b c  C．b c a  D． c a b  9．函数   sinxf x e x 在区间 π,π 的图象大致是（ ）． A． B． C． D． 10．已知圆O 内切 ABC△ 的三边 AB ， BC ， AC 分别于 D ， E ， F ，且 2 3 19 0OD OE OF      ， 则角 B  （ ）． A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 11．已知函数   sin cosf x a x b x  ，其中 ,a bR ，且 0ab  ，若   π 4f x f      对一切 xR 恒成立， 则（ ）． A． π π 5 6f f          B． π 4f x    是奇函数 C．   3π 2f x f x     D．  f x 在区间 0,2π 上有 2 个极值点 12．已知  f x 是定义在 R 上的偶函数，当 0x  时，    2 0f x f x  （其中  f x 为  f x 的导函数）， 若  2f e ，则     x f x e 的解集为（ ）． A． 2,2 B． 1 1,2 2     C． 1 ,22     D． 1 ,22      二、填空题： 13．  2 2 23 log 12 log 327 2   ______． 14．设 x ， y 满足 1 3 1 0 x x y       ，则 2x y 的最大值为______． 15．等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 24a ， 32a ， 4a 成等差数列，则 3 4S a  ______． 16．已知函数     2 , 1 1 2 , 12 x x f x f x x      ，若关于 x 的方程    1f x a x  有且仅有 4 个不等实数根，则 a 的取值范围是______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题 17．已知函数   π π2sin cos 2 3sin cos4 4f x x x x x            ． （1）求  f x 单调递增区间； （2）若 8 52f      ，且 π ,π2      ，求sin 的值． 18．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 0na  ， 24 2 3n n nS a a   ；数列 nb 为等比数列，且 2 2b  ， 5 16b  ． （1）求 na ， nb ； （2）求数列 n na b       的前 n 项和 nT ． 19．在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且满足 2 cos cos cosb A a C c A  ． （1）求角 A 的大小； （2）若 2a  ， D 是 BC 的中点，求线段 AD 长度的最大值． 20．已知函数   3 2g x x ax  ． （1）若函数  g x 在 1,3 上为单调函数，求 a 的取值范围； （2）已知 0a  ， 0x  ，求证：   2 lng x x ax ． 21．已知函数   2 2 1xf x xe ax ax    ． （1）当 2 1 2a e  时，求  f x 在 2x   处的切线方程； （2）当 1 1a e    时，讨论  f x 零点的个数． （二）选考题 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 1 cos sin x t y t       （t 为参数）．以坐标原点为极点， x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 : 4cosC   ． （1）求曲线 2C 的直角坐标方程； （2）若点  1,0A ，且 1C 和 2C 的交点分别为点 M ， N ，求 1 1 AM AN  的取值范围． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知不等式 2 3 3x x    解集为 M ． （1）求 M ； （2）若 ,b c M ，证明： 4 4bc c b   ． 参考答案 1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 13．5 14．10 15．15 4 16． 1 1,32 16      17．   πsin 2 3sin 2 cos2 3sin 22f x x x x x        π2sin 2 6x     ， 由  π π π2 π 2 2 π2 6 2k x k k      Z ， 得  π ππ π3 6k x k k     Z ， 则函数单调递增区间为  π ππ , π3 6k k k      Z ． （2）由 8 2 5f      得 π 82sin 6 5      ，即 π 4sin 6 5      ， 由 π ,π2      ， π 2π 7π,6 3 6       ， 可得 π 3cos 6 5       ， 则 π π π π π πsin sin sin cos cos sin6 6 6 6 6 6                          ， 所以 4 3 3 1 4 3 3sin 5 2 5 2 10       ． 18．（1） 2n  时，由 24 2 3n n nS a a   得 2 1 1 14 2 3n n nS a a     ， 所以 2 2 1 14 2 2n n n n na a a a a     ， 整理得  1 12 0n n n na a a a     ， 又 0na  ，所以  1 2 2n na a n   ， 又 2 1 1 14 2 3S a a   ，即有 2 1 12 3 0a a   ，得 1 3a  或 1 1a   （舍去）， 所以 na 是以 1 3a  为首项，公差为 2 的等差数列． 于是 2 1na n  ． 设等比数列 nb 公比为 q ，则 1 2b q  ， 4 1 16b q  ，解得 1 1b  ， 2q  ， 所以 12n nb  ． （2）由（1）知 1 2 1 2n n n na b    ， 则 0 2 1 3 5 7 2 1 2 2 2 2n n nT      L ① 于是 1 2 3 1 3 5 7 2 1 2 2 2 2 2n n nT     L ② ①－② 1 2 1 1 112 21 1 1 1 2 1 2 13 2 3 2 12 2 2 2 2 21 2 n n n n n n nT                           L 1 1 1 1 2 1 2 56 4 1 102 2 2 n n n n n nT                   ． 19．（1）由正弦定理得 2sin cos sin cos sin cosB A A C C A  ， 则  2sin cos sin sinB A A C B   ，于是 1cos 2A  ， 又 0 πA  ，故 π 3A  ． （2）由  1 2AD AB AC    得    22 2 21 1 24 4AD AB AC AB AC AB AC               2 2 2 21 12 cos4 4c b cb A c b bc      ， 根据余弦定理 2 2 2 2 22 cos 2a b c bc A b c bc      ， 所以 2 24 b c bc bc    ，当且仅当b c 时等号成立， 则    2 2 21 1 4 2 34 4AD c b bc bc      ， 所以 3AD  ，线段 AD 长度的最大值为 3 ． 20．（1）由题   23 2g x x ax   ， 若  g x 为单调递增，则   23 2 0g x x ax    在 1,3 上恒成立，则 3 2a   ； 若  g x 为单调递减，则   23 2 0g x x ax    在 1,3 上恒成立，则 9 2a   ． 所以， a 的取值范围是 9 3, ,2 2              ． （2）由题即证： lnx a ax  ， 令   lnu x x a ax   ，   11 a xu x ax x     ， 当 0 1x  ，   0u x  ，函数  h x 单调递减， 当 1x  ，   0u x  ，函数  h x 单调递增． 所以    1 1 lnu x u a a    ， 【法 1】令    1 ln 0v a a a a    ，则   1 11 av a a a     ， 当 0 1a  ，   0v a  ，  v a 单调递减， 当 1a  ，   0v a  ，  v a 单调递增． 所以 1a  时，  v a 取极小值，也即最小值，则 v    1 2 0a vv    ， 则 0a  时，   0u x  ． 故当 0a  时，对于任意 0x  ，   lng x x ． 【法 2】因为 0a  ，所以 1 1 lna a a    ，所以   0u x  ， 故当 0a  时，对于任意 0x  ，   lng x x ． 21．由   2 2 1xf x xe ax ax    ， 得       1 2 2 1 2x xf x x e ax a x e a        ． （1） 2 1 2a e  时，可得   2 22f e     ，   2 22 1f e     ， 则切线方程为  2 2 2 22 1y xe e      ，即 2 2 2 6 1y xe e     ． （2）（ⅰ）当 0a  时，   1xf x xe  ， 可知 0x  ，   0f x  ， 又   1xf x xe  为 0, 的增函数，且  1 1 0f e   ， 所以  f x 仅有一个零点． （ⅱ）当 0a  时， 2 0xe a  ， 由 1x   得   0f x  ， 0a  为减函数； 1x   得   0f x  ， 0a  为增函数． 所以      min 11 1 0f af x f x e        极小值 ， 又  1 3 1 0f e a    ，所以存在  1 1,1x   使  1 0f x  ， 故  f x 在 1,  有唯一零点． 又当 2x   时， 2 1xe e  ，即 2 1xxe xe  ， 所以   2 2 2 12 1 2 1xxe ax ax x ax axef x         ， 而   2 2 1 2 1a a xexh x        图象开口向上， 故存在 0 2x   ，使得  0 0h x  ，也即有  0 0f x  ， 则存在  2 0 , 1x x  使得  2 0f x  ，故  f x 在 , 1  有唯一零点， 此时，  f x 有两个零点， （ⅲ）当 0a  时，由   0f x  得 1x   或  ln 2x a  ， ①若  ln 2 1a   ，即 1 02 ae    ，则 当  ln 2x a  时，   0f x  ，  f x 单调递增；  ln 2 1a x    时，  f x 单调递减； 1x   时，   0f x  ，  f x 单调递增． 而      2 ln 2 ln 2 1 0f a a a     ，   33 1 1 021f e a e e        ， 此时，  f x 仅有一个零点． ②若  ln 2 1a   ，即 1 2a e   ，则   0f x  ，  f x 为 R 上的增函数， 因为   00 1f    ，   31 1 0e af     ， 此时  f x 仅有一个零点． ③若  ln 2 1a   ，即 1 2a e   ，则 当 1x   时，   0f x  ，  f x 单调递增；  1 ln 2x a    时，   0f x  ，  f x 单调递减；  ln 2x a  时，   0f x  ，  f x 单调递增． 因 1 11 2ae e      ，则   11 1 0aef       ，   22 8 1 02 ef a    ， 结合   00 1f    知  f x 仅有 1 个零点． 综上，当 1 1 0ae     时，  f x 有 1 个零点； 当 0a  时，  f x 有两个零点． 22．（1）由 4cos  可得 2 4 cos   ，可得 2 2 4 0x y   ． （2）将 1 cos sin x t y t       带入 2C 的直角坐标方程， 得     2 21 cos sin 4 1 cos 0t t t       ， 即有 2 2 cos 3 0t t    ， 所以 1 2 2cost t   ， 1 2 3t t   ． 则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 AM AN t t t t t t AM AN AM AN t t          2 2 1 2 1 24 4cos 12 3 3 t t t t      22 cos 3 2 3 4,3 3 3         ． 23．（1）当 2x  时， 2 5 3x   ，得1 2x  ； 当 2 3x  时，1 3 成立，得 2 3x  ； 当 3x  时， 2 5 3x   ，得3 4x  ， 所以原不等式的解集为  1,4x ，即  1,4M  ． （2）要证明 4 4bc c b   ， 即证明   2 24 4bc c b   ，即 2 2 2 216 16 0b c b c    ， 即证明  2 216 1 0b c   ， 由于 ,b c M ，所以 2 16 0b   ， 2 1 0c   ，则有  2 216 1 0b c   ， 所以 4 4bc c b   ．